计数问题常见错误例析

戴三红

计数问题是高中数学的重要问题之一，排列组合是特殊的计数问题，也是高考考查的经典内容之一，、通常以选择题或填空题的形式出现，有深厚的实际应用背景，此类问题概念性强，思考方法和解题技巧特殊，掌握“分步相乘、分类相加、有序排列、无序组合”的原理和方法，并能加以灵活运用是解决问题的关键，下面稍举几例，帮助同学们加深对此原理和方法的理解，避免出现类似错误。

一、分组重复

例1某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去1个

工厂，每个工厂至少安排1个班，不同的安排方法共有__________种，(用数字作答)

错解1：不同的安排方法共有A^5/4=120种。

错解2：先从5个班中选出4个班，每个班去1个工厂，有A^5/4=120种方法；再将剩下的1个班随机安排去4个工厂中的某1个，这样不同的安排方法共有120×4=480种，

错因：错解1是一种比较典型的错误，原因是很多同学碰到此类问题时，没有进行深入细致的分析，直接套用排列数或组合数公式，对于错解2，5个班到4个工厂去实践，则必定有2个班去同一个工厂，对于这2个班，无论先安排哪一个去工厂，结果都是一样的，属同一种安排方法，而错解2误将2个班按不同顺序去同一个工厂的情况看作是不同的，当作2种安排方法，导致多解的错误，因此，应用分步计数原理时，要保证所分的步骤之间是有先后顺序差异的。

正解1(以班级为研究对象)：先将5个班分成4组，有C²₅种不同的分法；再将4个组安排到4个工厂进行社会实践，有A^4/4种不同的方法，由分步计数原理得，不同的安排方法共有c²₅·A⁴₂=240种，

正解2(以工厂为研究对象)：由题意可知，必有2个班到同1个工厂进行社会实践，则可先将其中的2个班安排到某个工厂进行社会实践，有c²₅种不同的安排方法；再将剩下的3个班安排到剩下的3个工厂，有A³_{2种不同的安排方法，由分步计数原理得，不同的安排方法共有c²3·c¹3A³2=240种。}

点评：解题时一般可以或从元素(本例中的班级)，或从位置(本例中的工厂)的角度来思考问题，应避免出现同时从两个角度思考问题而导致混乱出错的情况，

例2某校高二年级共有6个班级，现从外地转入4名学生，要分到该年级的2个班级中，每班分到2名，则不同的分法种数为

(A)A^6/2c^4/2

(B)2/1 A^6/2c^4/2

(c)A^6/2A^4/2

(D)2AA^5/2

错解：先将4名学生平均分成2组，有cA^4/2种分法；再将这2组同学分别安排到6个班级中的2个，有AA^6/2种安排法，由分步计数原理得，不同的分法种数为AA^6/2CA^4/2选A

错因：这是涉及平均分组的问题，分出来的各组是平等的，没有先后顺序的差别，错解正是忽视了这一点，重复进行分组，导致多解，

正解：分两步进行，先将转入的4名学生平均分成2组，有4/1C^4/2种分法；再将这2组同学分别安排到6个班级中的2个，有AA^6/2种安排法_由分步计数原理得，不同的分法种数为2/1AA^6/2CA^4/2选B-

点评：平均分组问题是排列组合中的难点之一，同学们在碰到分组问题时应首先区分是平均分组还是非平均分组，将mn(m.NEN)个不同的元素平均分成m组的分法有2种，

三、分类情形不全面

例3某礼堂的主席台有2排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不能左右相邻，那么不同的坐法种数是

(A)334

(B)346

(C)350

(D)363

错解1：如果安排2人分别在前后2排就座，有8x12xA~=192种不同的坐法；如果安排2人都在前排就座，有4x4xAA^2/2=32种不同的坐法；如果安排2人都在后排就座，有A²₁₁=110种不同的坐法，

由分类计数原理知，符合要求的不同的坐法种数是192+32+110=334种，选A，

错解2：若不考虑2人是否相邻，有A²₂₀=380种不同的坐法，2人相邻的坐法：都在前排左侧和都在前排右侧的坐法各有3种，都在后排的坐法有11种，所以符合要求的坐法种数是380-3-3-11=363种，选D，

错因：错解1从正面人手考虑符合条件的情形，但当符合条件的情形较多时，容易遗漏某种情形，错解1正是由于忽略了2人同在前排就坐且坐在中间3个空位同侧的情形，才导致漏解，错解2从反面人手，在所有情形中排除不符合条件的情形，不失为一个好思路，但错解2在考虑不符合条件的情形时，却忽略了2人相邻时，再交换2人的位置又是一种不同的坐法，

正解1：如果安排2人分别在前后2排就座，有8×12xA²₂=192种不同的坐法，如果安排2人都在前排就座，有两种情形：若2人分别坐在中间3个空位的两侧，有4x4xAA²₂=32种不同的坐法；若2人坐在中间3个空位的同侧，有2xAA²₃=12种不同的坐法，如果安排2人都在后排就座，有A²₁₁=110种不同的坐法

由分类计数原理可知，符合要求的不同的坐法种数是192+32+12+110=346种，选B，

正解2：若不考虑2A是否相邻，则共有A²⁰=380种不同的坐法，2人相邻的情形：都在前排左侧和都在前排右侧的坐法各有3xA²₂=6种，都在后排的坐法有llxA²A₂=22种，所以符合要求的坐法种数是380-6-6-22=346种.选B.

点评：有关“相邻与不相邻”的问题是一类基本的排列组合应用问题，“捆绑法”与“插空法”是解决这类问题的常用方法，应能非常熟练地掌握和使用，“正难则反”是解决情形复杂的排列组合问题的基本策略之一，

例4某城市在中心广场建造了一个花圃，花圃分为6个部分(见图1)，现要在花圃中栽种4种不同颜色的花，每部分栽种1种颜色的花，且相邻部分栽种的花的颜色不同，则不同的栽种方法有——种，(以数字作答)

错解：第1部分可以栽种4种不同颜色的花；第2部分可以栽种3种不同颜色的花；第3，4，5，6部分各可以栽种2种不同颜色的花由分步计数原理得，不同的栽种方法有4×3×2A⁴=192种，

错因：上述解法并不能保证第2部分与第6部分栽种的花的颜色是不同的，

正解：先在第1，2，3部分栽种3种不同颜色的花，有A=24种方法，

如果第5部分栽种与第1，2，3部分颜色不同的花，此时第4部分只能栽种与第2部分颜色相同的花，第6部分只能栽种与第3部分颜色相同的花，只有1种方法；如果第5部分栽种与第2部分颜色相同的花，此时第4部分只能栽种与第1，2，3部分颜色不同的花，第6部分能栽种与第1，2部分颜色不同的花，共有2种方法；如果第5部分栽种与第3部分颜色相同的花，此时第6部分只能栽种与第l，2，3部分颜色不同的花，第4部分能栽种与第1，3部分颜色不同的花，共有2种方法。

结合分步计数和分类计数原理可知，不同的栽种方法有24x(1+2+2)=120种。

点评：对综合性的排列组合问题，只有做到分类分步合理、严密，才能做到“不重不漏”