谈梯形辅助线的作法

刘厚卓　张德英

梯形是一种特殊的四边形，它是平行四边形和三角形的“综合”.可以通过适当地添加辅助线，构造三角形、平行四边形，再运用三角形、平行四边形的相关知识去解决梯形问题.下面就梯形中作辅助线的常用方法作一介绍，供参考.

[一、平移一腰]

过梯形的一个顶点作一腰的平行线，构造一个三角形和一个平行四边形，能使分散的条件集中起来，为解决梯形问题创造条件.

例1如图1，等腰梯形ABCD两底之差等于一腰的长，那么这个梯形较小的一个内角是（）.

A. 90° B. 60° C. 45°D. 30°

解析：由条件“两底之差等于一腰的长”，可平移一腰.如图2所示，平移DC到AE，AE交BC于E.可知BE=BC-AD=AB.又AB=DC=AE，故AB=BE=AE，△ABE是等边三角形.所以∠B=60°.故选B.

[二、平移两腰]

平移两腰，使两腰交于短底上一点，把梯形转化为两个平行四边形和一个三角形，进而解决问题.

例2如图3，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD

解析：要证∠B=∠C，可把它们移到同一个三角形中，利用等腰三角形的有关性质加以证明.

过点E作EH∥AB，EG∥DC，分别交BC于H、G（如图4）.

∵AD∥BC，∴四边形ABHE和四边形EGCD都是平行四边形（两组对边平行）.

∴ AE=BH，ED=GC.

又E、F分别为AD、BC的中点，所以AE=ED，BF=FC.

∴BH=GC，BF-BH=FC-GC，从而HF=FG.

又EF⊥BC，所以EH=EG，故∠EHF=∠EGF，得∠B=∠C.

评析：题目中若有连接两底上点的线段，通常要平移两腰.

[三、平移对角线]

过梯形底边的一个端点作某一条对角线的平行线，可以构造出一个三角形和一个平行四边形，引出解题思路.

例3在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC=5 cm，BD=12 cm，则梯形中位线的长等于（）.

A. 7.5 cmB. 7 cmC. 6.5 cmD. 6 cm

解析：由对角线垂直，可平移一条对角线（比如AC），构造出Rt△BDE和▱ACED（如图5）.由勾股定理可知BE=13 cm，从而得到梯形中位线的长即[(AD+BC)/2]等于BE的一半，即为6.5 cm.故选C.

[四、延长两腰]

延长两腰相交于一点，可构造两个三角形，再利用这两个三角形的性质解决问题.

例4在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD+BC=30，BD平分∠ABC.求梯形的周长.

解析：延长两腰相交于点E，如图6，因∠ABC=∠BCD=60°，故∠E=60°.△BCE为等边三角形.又BD平分∠ABC，所以BD垂直平分CE.

所以CD=BC.又AD∥BC，故△ADE为等边三角形.AD=ED=CD.由AD+BC=30，知CD+2CD=30，CD=10.

∴梯形的周长为30+AB+CD=30+2CD=50.

[五、作梯形的高]

过梯形短底的两个端点作梯形的高，把梯形分成两个直角三角形和一个矩形，可使解题思路明朗化.

例5已知等腰梯形的一个内角为60°，它的上底是3 cm，腰长是4 cm，则下底是______.

解析：如图7，梯形ABCD中，∠B=∠C=60°，AD=3 cm，AB=DC=4 cm.过点A、D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F.则有∠BAE=∠CDF=30°，BE=FC=1/2AB=2 cm，

∴BC=BE+EF+FC=BE+AD+FC=7（cm），即为所求.

[六、连接两腰中点]

若题目中有一个或两个腰的中点，可尝试连接梯形两腰的中点，得到梯形的中位线，利用中位线的性质解题.

例6在梯形ABCD中，AB∥CD，点M为BC的中点，DM平分∠ADC.求证：AM平分∠DAB.

解析：如图8，取DA的中点N，连接MN，则MN∥CD，MN∥AB.所以∠NMD=∠MDC=∠MDN.故NM=ND=AN，∠NAM=∠NMA=∠MAB.故AM平分∠DAB.

练习1. 等腰梯形两底差的一半等于它的高，那么这个梯形的一个内角是（）.

A. 75° B. 60°C. 45° D. 30°

2. 如图9，已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠A+∠B=90°，M、N分别是AB、CD的中点.求证：MN=（AB-CD）.

3. 在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=8，AC=6，BD=8，求此梯形的高.

4. 如图10，在梯形ABCD中，∠DCB=90°，AB∥DC，AB=25，BC=24.将该梯形折叠，点A恰好与点D重合，BE为折痕.那么，AD的长为_________.

5. 例6变式练习：条件不变，结论改变.求证：（1）AM⊥DM；（2）AB+CD=AD.

提示：1.利用第五种作法.2.利用第二种作法，并利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.3.利用第三种作法，由勾股定理逆定理得出直角三角形，并利用面积公式S=1/2ab=1/2hc（a、b为直角边长，c为斜边长，h是斜边上的高）.4.先在Rt△BCD中求出DC，再自D作DF⊥AB于F.在Rt△ADF中求AD.