不等式基本性质的应用

2008-06-16 10:15庄亿农
关键词:数轴性质方向

庄亿农

不等式有三条基本性质:

1. 不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号方向不变;

2. 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号方向不变;

3. 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号方向改变.

这三条基本性质是进行不等式变形的主要依据,现列举几例分析如下,供同学们复习时参考.

例1判断正误:

(1)若a>b,则ac>bc;

(2)若a>b,则ac2>bc2;

(3)若ac>bc,则a>b;

(4)若ac2>bc2,则a>b.

[分析:](1)中是在a>b两边同乘以c,而c是什么数并不确定,若c>0,由不等式的基本性质2知,ac>bc;若c<0,由不等式的基本性质3知,ac

(2)中,当c=0时,ac2=bc2.故(2)是错误的.

对于(3),在不等式两边同除以c,因为不知道c是正数、负数或0,与(1)类似,可推出结论是错误的.

(4)中是在ac2>bc2两边同除以c2,而c2>0(为什么c≠0 ?) ,故(4)是正确的.

解: (1)错误;(2)错误;(3)错误;(4)正确.

[点评:]解这类题的关键是对照不等式的三条基本性质,分析从条件到结论到底应该运用哪一条性质,运用不等式性质的条件是否具备.

例2有理数a、b、c在数轴上对应点的位置如图1所示,下列式子中正确的是().

A. b+c>0B. a+b

C. ac>bc D. ab>ac

[分析:]由数轴上点的位置可以确定a、b、c之间的大小关系及它们各自的正负性,再根据不等式的基本性质对选项逐一分析,即可得出答案.

解: 对于A,由图知c<0c,两边同加上a后,根据不等式的基本性质1,有a+b>a+c,故B不正确;对于C,由图知a>b>0,c<0,根据不等式的基本性质3,有acc,a>0,根据不等式的基本性质2,有ab>ac,故应选D.

[点评:]解答此题的关键是既要能从数轴上看出a、b、c的大小关系及它们各自的正负性,还要考虑运用不等式的三条基本性质.

例3已知a<0,-1

[分析:]由a<0,b<0,可得ab>0,ab2<0.由-1a.

解: 因为a<0,-10.

又-1a.

所以a

[点评:]灵活运用不等式的基本性质是解决这类题的关键.要特别注意,运用基本性质3时,不等号的方向要改变!

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