构造三角形重心巧定两平面法向量的方向

刘瑞美　黄淑贤

利用平面的法向量可以方便地求出二面角平面角的大小，由于两法向量的夹角未必就是二面角的平面角的大小，许多杂志上都介绍了直接从图形上观察两法向量的方向，来确定两法向量的夹角是否为两平面的夹角.这种方法虽然简单，但由于空间任意两个向量都是共面的，要从图形上直接判定他们的方向，需要很强的空间想象能力，好多学生是达不到这种境界的.在最后的复习中，我利用下面的两个定理引导学生用向量法求二面角的大小时，学生不知道如何找二面角内的点，结果给解题带来麻烦.为了帮助学生更好更快的解题，我们在二面角内总可以找到一个三角形，将此三角形的重心作为二面角内的点，可以不加思索的让学生很方便的正确求解，偶有所得，现结合2008年高考题，写出来与大家同享.

为了方便解决问题，现给出如下两个定理：

定理1 向量m是平面α的一个法向量，点O在平面α内，点P在平面α外.若m·OP>0，则向量m与向量OP指向平面α的同侧(如图1）；若m·OP<0，则向量m与向量OP指向平面α的异侧(如图2）.

证明 当m·OP>0时，因为m·OP=|m|·|OP|cosθ，所以cosθ＞0，所以0≤θ<π2，所以向量m与向量OP指向平面α的同侧.同理可证当m·OP<0时，cosθ＜0，所以π2<θ≤π，所以向量m与向量OP指向平面α的异侧.

定理2 点P是二面角α-l-β内一点，点O是棱l上一点，向量m,n分别是平面α,β的一个法向量，二面角α-l-β的平面角的大小为θ.

若m·OP与n·OP同号，则θ=π-；若m·OP与n·OP异号，则θ=(如图3）.

证明 (1）若m·OP与n·OP异号

1） 当m·OP>0且n·OP<0时，由定理1易知：向量m与向量OP指向平面α的同侧；向量n与向量OP指向平面β的异侧,而OP始终都是指向两平面外部的，所以向量m与向量n与两平面的指向互异，所以θ=

2） 同理可证当m·OP<0且n·OP>0时，θ=

(2）若m·OP与n·OP同号

1）当m·OP>0且n·OP>0时，由定理1易知：向量m与向量OP指向平面α的同侧；向量n与向量OP也指向平面β的同侧，而始终OP都是指向两平面外部的，所以向量m与向量n与两平面的指向一致，所以θ=π-；

2）同理可证：当m·OP<0且n·OP<0时，θ=π-

例1 (2008年全国高考数学北京卷文）

如图4，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC.

(Ⅰ）求证：PC⊥AB；

(Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小.

解 (Ⅰ)略

点评 法向量的夹角与二面角的大小可能相等也可能互补，要注意法向量的方向.

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