方案设计型中考题解法探讨

陆海泉

在生产、运输、营销、购物等经济活动中，常需要运用不等式、一次函数等知识设计不同的方案，或制定一个最佳方案.这类题材已成为中考命题的热点之一.现从2007年中考题中撷取几例进行解析，供同学们参考.

运用不等式的基本知识

例1（辽宁省十二市）某办公用品销售商店推出两种优惠方法：①购1个书包，赠送1支水性笔；②购书包和水性笔一律按九折优惠.书包每个定价20元，水性笔每支定价5元.小丽和同学需买4个书包和水性笔若干支（不少于4支）.

（1）分别写出按两种优惠方法购买时总费用y（元）与所买水性笔支数x之间的函数关系式.

（2）对x的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法（只按一种优惠方法）购买比较划算.

（3）小丽和同学需买书包4个和水性笔12支，怎样购买最经济？

解：（1）设按优惠方法①购买需用y元，按优惠方法②购买需用y元，则y=（x-4）×5+4×20=5x+60，y=（5x+20×4）×0.9=4.5x+72.

（2）设y>y，即5x+60>4.5x+72，则x>24.故当x>24时，应选择优惠方法②.

设y=y，解得x=24.故当x=24时，选择优惠方法①和②均可.

所以当4≤x<24时，应选择优惠方法①.

（3）因为需要购买4个书包和12支水性笔，而12<24，所以有以下购买方案.

购买方案一：只用优惠方法①购买，需5x+60=5×12+60=120（元）.

购买方案二：采用两种优惠方法.先用优惠方法①购买4个书包，需要4×20=80（元），同时获赠4支水性笔；再用优惠方法②购买8支水性笔，需要8×5×0.9=36（元）.共需80+36=116（元）.

显然，116<120.故采用购买方案二购买最经济.

点评：由题意“不少于4支”，得x≥4，“等号”在解题中不可遗漏.

运用不等式的整数解

例2（吉林省）某商店在一次促销活动中规定：消费者消费满200元或超过200元就可享受打折优惠.某同学打算在该商店为班级买奖品，准备买6本影集和若干支钢笔.已知影集每本15元，钢笔每支8元.问：他至少要买多少支钢笔才能打折？

解：设该同学至少买x支钢笔才能打折.根据题意，得15×6+8x≥200.解得x≥13.

∵ x为整数，∴ x的最小值为14.

∴ 该同学至少要买14支钢笔才能打折.

点评：由“至少”可列出用“≥”连接而成的不等式，由“至少”又知在x≥13的范围内，应取x=14.整数解是此类问题中一个十分重要的隐含条件.

例3（齐齐哈尔）下岗职工王阿姨利用自己的一技之长开办了“爱心服装厂”.她计划生产甲、乙两种型号的服装共40套，然后将它们投放到市场销售.已知甲型服装每套成本34元，售价39元；乙型服装每套成本42元，售价50元.要求两种服装的总成本不低于1 536元，不高于1 552元.

（1）服装厂有哪几种生产方案？

（2）该服装厂怎样生产获得的利润最大？

（3）若40套服装全部售出后，服装厂又生产6套服装捐赠给某社区低保户，这样服装厂仅获利润25元.请直接写出这种情况下服装厂是按哪种方案生产的.

解：（1）设生产甲型服装x套，则生产乙型服装为（40-x）套，由题意得1 536≤34x+42（40-x）≤1 552.

解得16≤x≤18.

∵ x是非负整数，∴ x为16或17或18.

有以下三种生产方案：

生产甲型服装16套，乙型服装24套；或甲型服装17套，乙型服装23套；或甲型服装18套，乙型服装22套.

（2）设所获利润为y元，由题意有：

y=（39-34）x+（50-42）（40-x）=-3x+320.

∵ y随x的增大而减小，∴ x=16时，y有最大值.

∴ 生产甲型服装16套、乙型服装24套时，获得的利润最大.

（3）服装厂采用的方案是：生产甲型服装17套、乙型服装23套.（提示：可由y=-3x+320，算出当x为16，17，18时y的值，设为c.设捐赠的6套服装中m套为甲型，n套为乙型，则m+n=6，34m+42n=c-25.看哪种情况下联立解出的m、n均为非负整数）

点评：（1）由x的不同取值（正整数）可得不同的方案，是解这类题的普通规律；（2）一次函数y=kx+b本没有最大值和最小值，但当x的取值范围缩小为某些区间或只取几个特殊值时，就能得到y的最值，从而求得最佳方案.

运用不等式组

例4（青岛）饮料厂开发了A、B两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙两种原料的含量如下表所示.现用甲原料和乙原料各2 800 g进行生产，计划生产A、B两种饮料共100瓶.设生产A种饮料x瓶.解答下列问题.

（1）有几种符合题意的生产方案？写出解答过程.

（2）如果A种饮料每瓶的成本为2.6元，B种饮料每瓶的成本为2.8元，这两种饮料成本总额为y元，请写出y与x之间的函数关系式，并说明x取何值时会使成本总额最低.

解：（1）根据题意得：20x+30（100-x）≤2 800，

40x+20（100-x）≤2 800.

解这个不等式组，得20≤x≤40.

因为其中正整数解共有21个，所以符合题意的生产方案有21种.

（2）根据题意，得y=2.6x+2.8（100-x）=-0.2x+280，20≤x≤40.

∵ k=-0.2<0，y随x的增大而减小，

∴ 当x=40时成本总额最低.

点评：弄清题意、读懂表格、抓住隐含条件（甲、乙两种原料的使用量都必须小于或等于2 800 g）是列出不等式组的关键.

例5（武汉）康乐公司在A、B两地分别有同型号机器17台和15台.现要运往甲地18台，乙地14台.从A、B两地运往甲、乙两地的费用如下表：

（1）如果从A地运往甲地x台，求完成以上调运所需总费用y（元）与x（台）的函数关系式.

（2）该公司完成以上调运至少需要多少费用？为什么？

解：（1）y=600x+500（17-x）+400（18-x）+800[14-（17-x）]=500x+13 300.

（2）由（1）知总费用为y=500x+13 300.显然有x≥0，

17-x≥0，

18-x≥0，

x-3≥0，故3≤x≤17.

又k=500>0，所以随着x的增大，y也增大.

∴ 当x=3时，y最小值=500×3+13 300=14 800.

∴ 该公司完成以上调运至少需要14 800元的费用.最低费用的方案是：由A地调3台至甲地，14台至乙地；由B地调15台至甲地.

点评：总费用y=500x+13 300，又是一次函数关系式！欲求y的最小值，必须缩小x的取值范围，这是常规思路.而挖掘题中的隐含条件得到4个关于x的不等式，解得3≤x≤17，则是解题的难点，也是关键之处.

每天与他人闲聊10分钟可提高记忆力

一项最新的研究发现，聊天有助于提高大脑功能，使人变得聪明.

美国一个研究小组发现，每天只需和他人闲聊10分钟，就能提高记忆力；实验人群在智力测验中的得分也显著提高. 这项研究是由美国密歇根大学社会学研究学会心理学家奥斯卡·亚巴拉领导完成的.他在一份书面声明中表示，“社交活动和传统的提高记忆以及智力水平的做法同样有效.”

亚巴拉带领其研究小组对3 610人的数据进行了分析，而这些人的年龄跨度是从24岁到96岁. 研究小组发现，一个人的社交互动水平越高，他的认知能力表现就越好. 研究人员解释说，社交互动包括聚会以及同亲属、朋友和邻居通电话. 为了验证聊天是否有助于提高大脑功能，研究人员进行了另外一项实验. 研究人员在实验室内对76名大学生进行了实验，分析、评估社交互动以及智力练习如何影响记忆力和心智表现.亚巴拉说：“我们发现，短短的10分钟社交互动活动提高了参与者的智力表现，其功效不逊于相同时间长的所谓‘智力活动.”这些研究成果表明，每天和他人进行友好的交谈，同每天猜字谜一样，有助于提高人们的心智水平. （摘自2007年11月19日新浪网）

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