打破学科界限　培养学生解综合题的能力

刘小洪

由海南、广东等省率先进行的新一轮教材试验，更加注重学生的个性发展，它符合教育部制定的《面向21世纪教育振兴行动计划》中提出的实施“跨世纪素质教育工程”.通过课程教材改革，评价制度改革，全面推进素质教育的发展，并提出了高考内容改革的总体要求：更加注重学生能力和素质的考查.那么我们教师又该怎样提高学生以及自身的能力和素质呢?下面我们来看一道习题(新教材高一上第141页总复习A组第13题)

将铜片绕在盘子上，空盘时盘芯半径为40毫米，满盘时半径为80毫米，铜片的厚度为0.1毫米.

求：(1)满盘时共绕了多少圈；

(2)满盘时铜片的长度.(精确到0.01玬)

(提示：按铜片厚度的中心线计算各圈半径)

该题第一问较易解答：80-400.1=400圈.第二问的一般解答为数列方法：由提示知第一圈铜片半径为40.05玬m；第二圈为40.15玬m，以此类推，即为：已知a1=40.05,d=0.1,n=400,求S璶.

S400=400×40.05+400×(400-1)2×0.1=16020+7980=24000玬m,总长度=2π×S400=150796玬m≈150.80玬.

在教学当中发现有一位学生用物理方法同样解出了该题的第二问.他的思路为：铜片末卷起之前可看作长方体，卷起后为圆柱体，前后体积应相等，则有以下解法：

设铜片全长为y,宽为x，厚度为0.1，则卷起后柱体高为x，底面积为π(802-402)，由体积相等得0.1•x•y=π(802-402)•x，可解得y≈150796玬m≈150.80玬.

该方法新颖简洁，说明该生解题思维具有独创性.教师在平时的教学中应多加引导，鼓励学生在解题中思维的发散.这个例子也说明我们平时教学生一题多解，往往还是在数学范围内的一题多解，即多种方法最终还是数学方法，没能发散到其他学科去.目前国家试题组在全国范围内征集综合题.我的理解，综合题应该是综合多种学科不同知识点的题目，而不是单纯的数学综合或者物理的综合，即解综合题的过程中会用上数学的方法、物理的理论、化学的知识等等.在新教材中向量这一部分就有很多和物理力学有关的问题.例如新教材高一下第154页习题第8题.

作用于同一质点的两个力F1=86玁,F2=83玁，且F1、F2的夹角为77°12′，求合力F及合力F与F1所成的角β(力精确到1玁，角度精确到1°).

该题首先要求学生知道物理中合力的概念以及合力的求法，即为向量中的平行四边形法则，然后通过画力的示意图，再抽象为三角形，运用解三角形的知识并借助计算器求解.这个题就要求学生综合物理知识解题，当然这个题对物理知识的要求不高，下面再看几个例子.

例1 已知直角坐标系平面上有两点A(-2，1)，B(3，4).求一点P使其满足以下两个条件①P点在x轴上，②P到A、B两点距离之和最小.

这是一道比较多见的题，如图，一般的做法是先找到A(或B)关于x轴的对称点A′(或B′)然后连BA′(或B′A)与x的交点P即为所求.

它的理论依据大多老师会再找一点P′利用三角形两边和大于第三边说明问题，实际上利用物理学当中光的反射原理以及光线传播路径为最短路径的理论即可说明.A′即为A在镜中(x轴)所成像，图即成为一束光的反射图.这样一来这个题目就很容易让学生明白.

例2 求玞osπ5+玞os3π5的值.

该题的常见解法是利用和差化积，再利用倍角公式.

解法一：玞osπ5+玞os3π5=2玞osπ5+3π52•

玞osπ5-3π52=2玞os2π5玞osπ5=玸in4π52玸inπ5=12.

解法二：玞osπ5+玞os3π5=

2玸inπ5玞osπ5+2玸inπ5玞os3π52玸inπ5=玸in4π52玸inπ5=12.

以上两种解法都运用到了积化和差公式，在新教材中积化和差、和差化积公式只在例题和练习中出现证明，不作为学生必须掌握的公式.那么不用这两个公式可以解出这个题吗?答案是肯定的，下面就给出这类题的物理解法：5个大小为1牛顿的力，它们与x轴成角分别为π5、3π5、5π5、7π5、9π5，高中学生都知道像这样均匀分布的力的合力显然为零.若干个力的合力为零等价于这几个力在x轴上的分量的合力为零且在y轴上的分量的合力也为零.则有下式成立：

F1•玞osπ5+F2•玞os3π5+F3•玞os5π5+F4•玞os7π5+F5•玞os9π5=0,因为F1=F2=F3=F4=F5=1，所以玞osπ5+玞os3π5+玞os5π5+

玞os7π5+玞os9π5=0，又因为玞osπ5=玞os9π5，

玞os3π5=玞os7π5,玞os5π5=-1，所以原式=12.这种解题的方法非常简单，但它要运用一定的物理力学知识.

例3 现有含盐7%的盐水200克，生产需要含盐在5%以上且在6%以下的盐水，设需要加入含盐4%的盐水x克，则x的范围是( ).

A.［100，400］ B.(100，400)

C.［200，500］ D.(200，500)

答案为B.若用数学方法，则须解两个方程，然后确定答案.若用化学方法即用化学题中计算两混合体平均分子量的方法(十字交叉法).

5%-4%=1%，7%-5%=2%，即7%的盐水与4%的盐水的质量比为1∶2，所以4%的盐水应为400克，由于“5%以上”不包括5%，所以答案也不包括400，取开区间.同理可求另一解.

例4 在一原子反应堆中，用石墨作减速剂，使快中子减速.已知碳核的每一次碰撞都是弹性正碰撞，而且认为碰撞前碳核都是静止的.

(1)问经过一次碰撞，中子损失的能量是多少?(设碰撞前中子的动能是E0)

(2)至少经过多少次碰撞，中子的动能才能小于10-6狤0?(玪g13=1.14,玪g11=1.041)

解：(1)设中子和碳核的质量分别为m和M，碰撞前中子的速度为v0，碰撞后中子和碳核的速度分别为v和V，由动量守恒得：mv0=mv+MV (1)，又因为是弹性碰撞，由动能守恒定律得：12mv02=12mv2+12MV2 (2).由(1)、(2)解得V=-1123v0，即碰撞过程中损失的能量为△E=12mv02-12mv2=48169E0.

可见，用数学的语言和方法表述物理概念、物理定理十分重要.有的学生学得比较呆板，只把公式背下来，而不理解它的物理意义，所以就得不到(1)、(2)方程，或者不知如何对待未知的中子质量，感到两个方程三个未知数而不得其解，其原因是思路不清，对待解二元一次方程组的计算技巧不熟练.

(2)设E1、E2、E3、…、E璶分别为中子在第一、第二次、…、第n次碰撞后的动能，由△E=48169E0得：E1=E0-△E=(1113)2E0同理得：E2=(1113)2E1=(1113)4E0(类似数列通项公式的推导)可知：E璶=(1113)2n狤0 (3)

因为E璶=10-6狤0,所以10-6狤0=(1113)2n狤0,

即10-6=(1113)2n,2n(玪g13-玪g11)=6,得n=41.1.所以需要经过42次碰撞，中子的动能才会小于10-6狤0.

可见，不仅要会用数学式子表达出物理规律的内在联系，还要有熟练的运算技能.不然，即使有了(3)式也无法解得碰撞的次数.

以上我们看到了数学和物理、化学解题中的相互运用，我们的教学就应沿着这个方向进行，这样才能充分挖掘出学生的创造性.我们要围绕着以素质教育为中心、构建以面向21世纪、体现教育基本规律、突出学生的发展为本的新课程体系和新教材体系；加强对学生人格的健全塑造；加强对学生发展性学力，创造性学力的科学培养.今后跨学科的综合教育势在必行.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”