对小学数学课堂中延展性问题的思考

王爱军

数学学习的难处不在于面对问题去解答和证明它，而在于如何去发现问题和提出问题。在数学学习中，问题设计显得尤其重要，能延伸和拓展有价值的问题，就能更好解决数学问题，找到新的方法与观点，获得广阔的思维空间。因此，数学问题须具有启发性，能联系新旧知识点，不断激发学习者求知的欲望，促使学习者产生强烈的认知需求。

延展性问题就是指通过具体的问题和教学活动使学生在已有的知识基础上，依据性质和程度的不同体验变化结果。数学教学必须依据学生的不同需求而进行，让学生适应问题的现实性、开放性，获得多种答案或多种解法，推广、扩充或迁移知识。数学学习过程中注重问题设计，把原问题进行延伸拓展，转化新知识、拓宽解题思路、培养和发展创新能力，为其学习的持续发展提供保证。

1.反其道而行——反向提问法

解决数学问题一般是由因索果、循序渐进地去解决。但是，在知道结果的情况下，对命题提出反向问题也是扩大和加深知识的一种逻辑手段。在数学课堂的学习中，运用反向提问，深入引导学生探究，让学生内化所学知识，联想延伸，变化运用，学会分析，辨识信息，提高思考水平和处理问题的能力。它不仅可以激发学生学习数学的兴趣，还可以通过探究活动、提供阅读材料等方式引发学生进行反向思维，能培养学生创造性思维能力。

案例一：经过已知两点A、B画射线。

问题1：经过已知一点能画几条直线?

问题2：经过已知两点A、B能画几条直线?

问题3：经过已知两点A、B能画射线吗?能的话，能画几条?

通过问题3的反向提问，学生讨论非常激烈，从不同角度获得了较多的答案，如“经过两点一条射线也不能画，只是一条线段”“和直线一样，经过两点也能画一条射线”“经过两点可以画两条不同的射线”“射线不止两条”等。在反向提问、学生探讨的过程中，延伸了教学内容，拓展了学生的学习空间，纠正认知的误区，寻求准确的结果。正如赞可夫所说：“教会学生思考，这对学生来说，是一生中最有价值的本钱”。

2.可能性结果——条件演变法

数学教学中要掘课内、外问题，进行条件演变，触类旁通，促使学生积极思维，增强思维敏捷性、灵活性和深刻性。

案例二：游戏的公平性。

问题1：老师和学生为了一张奥运篮球赛的门票，决定进行抛啤酒瓶盖的活动，先问学生：“这样可以吗?公平吗?”

学生因为没有活动经验，都说可以，老师对学生的猜想结果不妄加评论，然后教师让学生进行活动，总结活动结果。

问题2：“这样会公平吗?”学生终于在活动中结果中得出游戏的不公平性。原来瓶盖一边面积大，一边面积小，重量也不够均匀。

问题3：“那用什么样的东西来作决定才会公平?”学生回答：投硬币，投扑克牌等等。

充分让学生认识到不同的条件下，游戏的公平性会如何存在，并让学生进一步认识到：一切皆有可能，尽管不公平，但是也是有可能的。

3.假设性体验——操作验证法

解决问题活动的价值不只是获得具体问题的解，更重要的是学生在解决问题过程中获得的发展。其中重要的一点是使学生学习一些解决问题的基本策略，体验解决问题策略的多样性，并在此基础上形成解决问题的某些策略，而猜想检验法通常是数学方法中最重要的一种。

案例三：“传统”的鸡兔同笼。即“笼子里关着若干只鸡和兔，鸡和兔共有3个头，8条腿。则问共有几只鸡，几只兔?

解决这个问题，初中阶段可以用解二元一次方程组的方法；小学阶段可以用算术，要求学生想象兔子提起两只脚等解决方法，但还是有点抽象。同时可以换一个角度，将重点不放在具体的解上，而是放在解决策略——猜想和检验策略来解决。

通过猜测并进行检验，得到问题的最终答案，即有2只鸡和1只兔。猜测和检验的策略可以培养学生对数的感觉和估计的能力，使学生经历建立假设、检验假设的过程，发展学生的判断能力。

4.获取新成果——推广变式法

在数学教学过程中对概念、性质、定理、公式，从不同角度、不同层次、不同情形、不同背景作出有效的变化，使其条件或结论的形式或内容发生变化，而本质特征却不变；或者观察问题、发现问题、分析问题，变换数学问题的形式和条件，从而把它化归到容易解决或已经解决的一类数学问题。

案例四：长为18．84厘米、宽为12．56厘米的长方形纸，怎样围圆柱的体积最大?

问题1：以长方形的长作为底面周长，以宽作为高时，圆柱的体积是多少?

18．84÷3．14÷2=3（厘米）

3．14×3×3×12．56=354．9456（立方厘米）。

问题2：以长方形的宽作为底面周长，以长作为高时，圆柱的体积是多少?

12．56÷3．14÷2=2（厘米）

3．14×2×2×18．84=236．6304（立方厘米）。

问题3：以长方形的宽为底面周长是长为底面周长的几分之几，那么以宽为底面周长，长做高时，圆柱的体积是以长方形的长作为底面周长，以宽做高时圆柱的体积的几分之几呢?

即得出结论：用同一张长方形纸围圆柱，那么以长为底面周长，以宽为高的圆柱的体积与以宽为底面周长，以长为高的圆柱的体积的比等于长与宽的比。

5.关联知识点——知识迁移法

知识的迁移是指已有的知识对掌握新知识解决新问题的影响。在新知识的初学阶段，学习时间和精力的“大量投入”并不是一味地投入到训练记忆中，而是把主要时间投入到反思和理解中，依靠对旧知识的理解和掌握提高分析问题的能力。

案例五：两位数乘两位数。

重视两位数乘两位数的桥梁作用，两位数乘一位数的笔算和两位数乘整十数的口算是两位数乘两位数的基础。因此，在新授知识之前应复习旧知识。

两位数乘两位数笔算竖式的写法，实际上是把两位数乘一位数，两位数乘整十数的乘法和加法三个竖式合起来的一种简便写法。两位数乘两位数其实是对旧知识的综合，让学生在已有的认知基础上通过适当的类比、延伸实现知识的正迁移。