“传送带类问题”的归纳和解析

王占国　孙伟玉

笔者在高三第一轮复习的过程中发现“传送带类问题”的规律性非常强，用到的知识点特别多，若对其进行归纳，在解题中就能用到很多的解题技巧。下面是笔者在课堂教学中归纳的“传送带类问题”，供广大读者赏析。

1 命题趋向与考纲分析

“传送带类问题”是以真实物理现象为依据的问题，它既能训练学生的科学思维，又能联系科学、生产和生活实际，因而这种类型题具有生命力，当然也是高考命题专家所关注的问题。由于“传送带类问题”在高考考纲范围内属于涉及力、运动、能量等比较综合的一种常见的模型，所以是历年来高考试题考查的热点（如2003年全国理综34题，2005年江苏理综35题，2006年全国理综卷I的24题等）。学生对这类问题做答的得分率低。

2 知识概要与方法归纳

“传送带类问题”分水平、倾斜两种；按转向分顺时针、逆时针转两种。

2.1 受力和运动分析

受力分析中的摩擦力突变（大小、方向）——发生在v物与v带相同的时刻； 运动分析中的速度变化——相对运动方向和对地速度变化。

分析关键是：（1）v物、v带的大小与方向；(2)mgsinθ与f摩的大小与方向。

2.2 传送带问题中的功能分析

（1）功能关系：W璅=ΔE璌+ΔE璓+Q

（2）对W璅、Q的正确理解

j传送带所做的功：W璅=F•S带 ，功率P=F•v带（F由传送带受力平衡求得）。

k产生的内能：Q=f摩•S┫喽元

l如物体无初速，放在水平传送带上，则在整个加速过程中物体获得的动能E璌，因为摩擦而产生的热量Q有如下规律：

E璌=Q=12mv2带

3 典型例题与规律总结

3.1 水平放置运行的传送带

处理水平放置的传送带问题，首先应对放在传送带上的物体进行受力分析，分清物体所受摩擦力是阻力还是动力；然后对物体进行运动状态分析，即对静态→动态→终态进行分析和判断，对其全过程作出合理分析、推论，进而采用有关物理规律求解。这类问题可分为：①运动学型；②动力学型；③动量守恒型；④图象型。

例1 质量为m的物体从离传送带高为H

z处沿光滑圆弧轨道下滑,水平进入长为L的静止的传送带，之后落在水平地面的Q点,已知物体与传送带间的动摩擦因数为μ,则当传送带转动时,物体仍以上述方式滑下,将落在Q点的左边还是右边?

解析 物体从P点落下,设水平进入传送带的速度为v_O,则由机械能守恒定律得

mgH=12mv20

（1）当传送带静止时,分析物体在传送带上的受力，可知物体做匀减速运动,a=μmg/m=μg。物体离开传送带时的速度为v_t=v20-2μgL，随后做平抛运动而落在Q点。

（2）当传送带逆时针方向转动时,物体的受力情况与传送带静止时相同,因而物体离开传送带时的速度仍为v_t＝v20-2μgL，随后做平抛运动而仍落在Q点。 (当v_O2＜2μgL时,物体将不能滑出传送带而被传送带送回,显然不符合题意,舍去。)

（3）当传送带顺时针转动时,可能出现五种情况：

a、当传送带的速度v带较大时,

v带≥v20+2μgL，

则分析物体在传送带上的受力可知,物体一直做匀加速运动,离开传送带时的速度为

v＝v20+2μgL＞v_t＝v20-2μgL，

因而将落在Q点的右边。

b、当传送带的速度v带较小时，

v带＜v20-2μgL,

则分析物体在传送带上的受力可知,物体一直做匀减速运动,离开传送带时的速度为

v_t＝v20-2μgL，

因而仍将落在Q点。

c、当传送带的速度

2gH＜v带＜v20+2μgL，则分析物体在传送带上的受力可知,物体将在传送带上先做匀加速运动,后做匀速运动,离开传送带时的速度v_t＞v20-2μgL，因而将落在Q点右边 。

d、当传送带的速度

2gH＞v带＞v20-2μgL时, 则分析物体在传送带上的受力可知,物体将在传送带上先做匀减运动,后做匀速运动,离开传送带时的速度v_t＞v20-2μgL，因而将落在Q点右边。

e、当传送带的速度v带＝2gH时，则物体在传送带上不受摩擦力的作用而做匀速运动,故将落在Q点的右边。

综上所述：当传送带的速度v带≤v20-2μgL时,物体仍将落在Q点; 当传送带的速度v带≥v20-2μgL时,物体将落在Q点的右边。

3.2 倾斜放置运行的传送带

这种传送带是指两皮带轮等大，轴心共面但不在同一水平线上（不等高），传送带将物体在斜面上传送的装置。处理这类问题，同样是先对物体进行受力分析，再判断摩擦力的方向是解题关键，正确理解题意和挖掘题中隐含条件是解决这类问题的突破口。这类问题通常分为：运动学型；动力学型；能量守恒型。

例2 如图2所示，传送带与水平面夹角为37° ，并以v=10m/s运行，在传送带的A端轻轻放一个小物体，物体与传送带之间的动摩擦因数μ=0.5， AB长16米，求以下两种情况下物体从A到B所用的时间。（1）传送带顺时针方向转动；（2）传送带逆时针方向转动。

解析 （1）传送带顺时针方向转动时受力如图示：mgsinθ-μmgcosθ=ma

a=gsinθ-μgcosθ=2m/s2

s=12at2

t=2sa=2×162=4s。

（2）传送带逆时针方向转动，物体受力如图：

开始摩擦力方向向下,向下匀加速运动

a=gsin37°+μgcos37°=10m/s2

t1=v/a=1s

s1=12×at2=5m

s2=11m

1秒后，速度达到10m/s，摩擦力方向变为向上。物体以初速度v=10m/s向下做匀加速运动

a2=gsin37°-μgcos37°=2m/s2

s2= vt2+12×a2t22

11=10t2+12×2×t22

t2=1s

因此t=t1+t2=2s

例3（1998上海高考） 某商场安装了一台倾角为θ＝30°的自动扶梯，该扶梯在电压为U＝380V的电动机带动下以v＝0.4m/s的恒定速率向斜上方移动，电动机的最大输出功率P=4.9kW。不载人时测得电动机中的电流为I=5A，若载人时扶梯的移动速率和不载人时相同，则这台自动扶梯可同时乘载的最多人数为多少？（设人的平均质量m=60kg，g=10m/s2）

解析 这台自动扶梯可同时载最多人数的前提条件是电梯仍能以v=0.4m/s的恒定速率运动。

按题意，电动机是以最大输出功率工作，且电动机做功有两方面作用：一是电梯不载人时自动上升；二是对人做功。由能量转化守恒应有：P总＝P人＋P梯，

设乘载人数最多为n，则有

P总＝IU＋nmgsinθ•v，

代入得n＝25人

3.3 平斜交接放置运行的传送带

这类题一般可分为两种：一是传送带上仅有一个物体运动，二是传送带上有多个物体运动。解题思路与前面两种相仿，都是从力的观点和能量转化守恒角度去思考，挖掘题中隐含的条件和关键语句，从而找到解题突破口。

例4(2003全国) 图5为一传送带装置示意图,其中传送带经过AB区域时是水平的,经过BC区域时变为圆弧形(圆弧由光滑模板形成,未画出),经过CD区域时是倾斜的,AB和CD都与BC相切.现将大量的质量均为m的小货箱一个一个在A处放到传送带上,放置时初速度为零,经传送带运送到D处,D和A的高度差为h。稳定工作时传送带速度不变,CD段上各箱等距排列,相邻两箱的距离为L。每个箱子在A处投放后,在到达B之前已经相对于传送带静止,且以后也不再滑动(忽略经BC段的微小滑动)。已知在一段相当长的时间T内,共运送小货箱的数目为N。这装置由电动机带动,传送带与轮子间无相对滑动,不计摩擦。求电动机的平均功率P。

解析 以地面为参考系（下同），设传送带的运动速度为v_O，在水平段运输的过程中，小货箱先在滑动摩擦力作用下做匀加速运动，设这段路程为s，所用时间为t，加速度为a，则对小箱有

s=12at2(1)

v_O=at(2)

在这段时间内，传送带运动的路程为

s0=v_Ot(3)

由以上可得s0=2s(4)

用f表示小箱与传送带之间的滑动摩擦力，则传送带对小箱做功为

A=fs=12mv_O2(5)

传送带克服小箱对它的摩擦力做功

A0=fs0=2×12mv_O2(6)

两者之差就是克服摩擦力做功发出的热量

Q=12mv_O2(7)

可见，在小箱加速运动过程中，小箱获得的动能与热量相等。

T时间内，电动机输出的功为

W=T(8)

此功用于增加小箱的动能、势能以及克服摩擦力发热，即

W=12Nmv_O2+Nmgh+NQ(9)

已知相邻两小箱的距离为L，所以

v_OT=NL(10)

联立(7)(8)(9)(10),得

=NmT(N2L2T2+gh)

综上所述，传送带问题包含力、运动、能量等知识点，而且其中的摩擦力的方向、大小可能要发生变化，但只要掌握了上述三种基本类型，传送带问题就可迎刃而解，以上就是笔者对传送带题型的几点总结。当然,“传送带类问题”题型还不止这些。但不管怎样,只要我们了解其物理情景,物理模型,会进行受力分析,再灵活配合牛顿第二定律和能量知识就一定能正确解答。

(栏目编辑陈 洁)