牛顿变换Julia集的对称性

阳卫锋

(湖南工程学院数理系,湖南湘潭 411104)

牛顿变换Julia集的对称性

阳卫锋

(湖南工程学院数理系,湖南湘潭 411104)

主要讨论多项式的牛顿变换Julia集的对称性问题.利用复动力系统理论,证明了多项式P(z)的Julia集的对称群是其牛顿变换NP(z)的Julia集的对称群的子群.获得了Julia集为一水平直线的充分必要条件.

牛顿变换;Julia集;对称群;共形欧氏变换

1 引言

Julia集的性质是复动力系统研究的主要部分,而Julia集的几何对称性问题是其中一个重要课题.文[7]研究了多项式函数的Julia集的对称性,文[8]研究了临界有限的有理函数的Julia集的对称性,文[9]分析了有理函数的Julia集具有平移不变性的情形.

定义1.1设R是一个有理函数,R的Julia集的对称群Σ(R)为保持J(R)不变的共形欧氏变换σ构成的群,即Σ(R)={σ∈ε:σ(J)=J},其中ε={σ:σ(z)=az+b,|a|=1}.

当R是一多项式函数

其首项系数An=1,An−1=0.

文[7]证明了下列两个定理

定理A设多项式P(z)的次数deg(P)≥2.则对称群Σ(P)是由以P(z)的形心为中心的旋转变换构成的.如果P(z)是标准型的,而且Σ(P)是有限的,则Σ(P)的阶为使得P(z)可表示成P(z)=zrQ(zm)的最大整数m,其中Q(z)为一多项式.

定理B设多项式P(z)的次数deg(P)≥2.如果对称群Σ(P)是无限的,那么J(P)是一个圆周,并且P(z)共轭于zn,其中n=deg(P).

由定理A知多项式的Julia集的对称群只由旋转变换构成,而有理函数的Julia集的对称群中可以存在平移变换.文[9]得到下列重要定理

2 牛顿变换Julia集的对称性

由于多项式P(z)与其标准型多项式是共形共轭,所以具有相同的动力学性质,然而各自的牛顿变换之间不一定是共形共轭的,从而可能具有不同的动力学性质.

易知n次……