妙用乘法公式巧解题

丘志华

【摘要】在课外练习或竞赛中,常常会出现有这么一类数学题:看上去数字较大的计算或求值,如果采用常规方法按运算顺序直接计算确实很麻烦甚至根本不可能算得出,这时若巧妙地使用乘法公式则可以大大简化运算,往往使用原本看上去很复杂的数学题出现转机｡运用乘法公式还可以引申到解决其他表面上很复杂的数学问题｡

【关键词】乘法公式､运算､解题

Wondrous use multiplication formula skillful problem solving

Qiu Zhihua

【Abstract】In the extracurricular practice or the competition, will appear frequently has such kind of mathematics problems: Seems the digital big computation or the evaluation, if uses the conventional method to be truly very troublesome according to the operation order direct calculation simply is even impossible to be considered as, if used the multiplication formula to be possible ingeniously by now to simplify the operation greatly, often uses the book seems the very complex mathematics problems presents the favorable turn. May also expand using the multiplication formula to solves on other surfaces the very complex mathematics question.

【Key words】Multiplication formula, operation, problem solving

1.直接化为乘法公式的形式

例1计算99992-10000×9998

分析:如果直接计算虽能算得出,但费时费力,用乘法公式就方便多了｡而10000×9998=(9999+1)(9999-1),恰好可用平方差公式计算｡

解:原式=99992-(9999+1)(9999-1)=99992-(99992-1)

2.原题经过变形化为乘法公式

例2已知玜²-5a+1=0,求玜²+1a²的值｡

分析:本题不能急于先求出玜的值再代入式子计算,那样做将会走入死胡同,还是在乘法公式上想办法｡

由玜²-5a+1=0,可得玜²+1=5a,且玜≠0,即a+1a=5,所以(a+1a)2=52

即a²+2+1a²=25,因此a²+1a²=23

3.添项后能构成乘法公式

例3计算3(22+1)(24+1)(28+1)-216

分析:若直接计算肯定很复杂｡本题只要在连乘因式前面添上因式(2-1),3改为(2+1),即可连续使用平方差公式｡

解:原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)-216

=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)-216

=……=216-1-216=-1

4.逆用乘法公式

例4计算(1-122)(1-132)(1-142)…(1-120042)(1-120052)

分析:本题若直接运算,理论上可行,但实际几乎办不到｡仔细观察每个因式的特征,便可发现如果充分利用平方差公式,将每个因式进行分解:1-1n2=(1+1n)(1-1n)=n+1n×n-1n的形式,化繁为简,就会给计算带来极大的便利｡

解原式=(1+12)(1-12)(1+13)(1-13)…(1+12004)(1-12004)(1+12005)(1-12005)=12×32×23×43×…×20032004×20052004×20042005×20062005=12×20062005=10032005

5.探索规律型

例5已知:52-32=8×2,92-72=8×4,112-52=8×12,152-32=8×27,152-72=8×22,……,你从中发现了什么规律?并说明这个规律的正确性｡

分析:注意观察题目,已知条件左边是平方差,此题与平方差公式有关,而右边因式全部含有8｡

解:规律:任意两个