It型Markov切换系统时滞相关指数稳定性

赵旭东，王 礼，凌明祥，曾庆双

(哈尔滨工业大学空间控制与惯性技术研究中心，哈尔滨 150001，zxd7777777@126.com)

赵旭东，王 礼，凌明祥，曾庆双

(哈尔滨工业大学空间控制与惯性技术研究中心，哈尔滨 150001，zxd7777777@126.com)

研究了时变时滞满足h1≤d(t)≤h2的It型随机Markov切换系统的区间时滞相关指数稳定性.通过构造不同的Lyapunov-Krasovskii函数，并通过引入一些改进的积分等式方法，以线性矩阵不等式的形式提出了具有较小保守性的区间时滞依赖指数稳定性条件.最后通过数值算例说明本文结论的有效性及具有较低的保守性.

时滞相关稳定性;Markov切换系统;区间时变时滞;线性矩阵不等式

时滞马尔可夫随机切换系统

1 系统描述与准备

在本文中:λmin(·)，λmax(·)表示相应矩阵最小和最大特征值，E［·］代表数学期望.‖·‖表示向量的Euclidean范数和矩阵的谱范数.M ＞0用来表示对称正定矩阵.当r(t)=i∈S={ 1， 2，…，N}时，记Ai=A(r(t)).

系统(1)中d(t)为区间时变时滞，满足

注1.有必要指出在已知文献［6－10］中，有关具有时变时滞的It型Markov切换系统的时滞项大都定义为0≤d(t)≤h，(t)≤μ＜ 1，而在本文中对h1，μ并无限制，因此本文中的时滞更具一般性.

2 主要结果

定理1 给定常数h1，h2.对任意时滞d(t)，系统(1)是均方指数稳定的，若存在正常数ε1，ε2，ε3，ρi和 n × n 阶大于0 的矩阵 Pi，Q1i，Q2i，Q3i，Ri，Si，Ti，Z1，Z2，Q1，Q2，Q3及 Lki，Mki，Nki，Hki，k= 1， 2，…， 5，使得对任意 i= 1， 2，…，N，以下不等式成立:

选择Lyapunov-Krasovskii函数:

其中:Pi，Q1i，Q2i，Q3i，Q1，Q2，Q3，Z1，Z2，i= 1， 2，…，N，是适当维数正定矩阵，ε1，ε2，ε3为正常数，定义L为随机过程{xt，t≥0}的弱无穷小微分算子.则对任意 r(t)=i，i∈ S，有

所以由定义 1，系统(1)是均方指数稳定的.

下面考虑一般型变时滞马尔可夫切换系统:

定义2 系统(20)是随机稳定的，若对于［－h2，0］上初值 φ(t)和 r(0)∈ S，以下条件满足:

推论1 给定常数h1，h2.对任意时滞d(t)，系统(20)是随机稳定的，如果存在n×n阶矩阵Pi＞ 0，Q1i＞ 0，Q2i＞ 0，Q3i＞ 0，Ri＞ 0，Si＞ 0，Ti＞ 0，Z1＞ 0，Z2＞ 0，Q1＞ 0，Q2＞ 0，Q3＞ 0，Lki，Mki，Nki，Hki，k= 1， 2，…， 5，使得对任意 i= 1， 2，…，N，以下矩阵不等式成立:

证明 类似定理1的推导过程，可以得出推论1成立，这里不再赘述.

3 数值算例

算例1 考虑具有两模态的时滞马尔可夫跳跃系统(20)，系统参数如下［5］:

为了将推论1中结果与文献［5］中结果进行比较，首先设定 h1= 0，μ11= －0. 1，μ22= － 0. 8，对于给定μ值，满足式(21)～(25)的最大时滞h2可以通过求解quasi凸优化问题得到.表1中给出了比较结果.另外，设定μ22=－0. 8，μ =0. 8，对于给定的μ11，表2给出了比较结果.通过表 1，表2的比较可以看出推论1具有更小的保守性.

表1 算例1中对于给定μ，允许的最大h2比较

表2 算例1中对于给定μ11，允许的最大h2比较

算例2 考虑具有两模态的时滞马尔可夫跳跃系统(1)，系统参数如下［9］:

同样设定h1= 0，μ11= － 1，μ22= － 2，对于给定μ值，由定理1得出允许的最大时滞h2比较结果在表3中给出.算例2表明定理1的结果比文献［9］中的结论具有更低的保守性.

表3 给定μ，算例2中允许的最大h2比较

当时变时滞为区间时滞(即h1≠0)时，设定h1=0. 2，μ11= － 1，μ22= － 2，，对于给定μ值，将定理1所得出允许的最大时滞h2与文献［12］中所得结果列于表4(这里假设文献［12］中的干扰输入v(t)=0).由表4看到当时变时滞为区间时滞时，本文结果具有较小的保守性.

表4 给定μ，算例2中允许的最大h2比较

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Less conservative delay-dependent exponential stability for stochastic Markovian jump systems with time-varying delays

ZHAO Xu-dong，WAGN Li，LING Ming-xiang，ZENG Qing-shuang

(Space Control and Inertial Technology Institute，Harbin Institute of Technology，Harbin 150001，China，zxd7777777@126.com)

In this paper，the delay-range-dependent exponential stability problems for Itstochastic Markovian jump linear systems with interval time-varying delays satisfying h1≤d(t)≤h2are investigated.In terms of linear matrix inequalities，the criteria of less conservative delay-range-dependent stability for Itstochastic Markovian jump systems are proposed by constructing a different Lyapunov-Krasovskii function and introducing some improved integral-equalities.Numerical examples are provided to demonstrate the efficiency and reduced conservatism of the results in this paper.

delay-dependent stability;markovian jump systems;interval time-varying delays;linear matrix inequalities

TP273

A

0367－6234(2010)03－0378－06

2008－10－17.

赵旭东(1970—)，男，博士研究生;

曾庆双(1964—)，男，教授，博士生导师.

(编辑 张 宏)