错误也是一种美丽

《数学课程标准》明确指出：“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。”学生在小组内合作探究而生成的认识有粗浅的、正确的、创意的，但也有错误的。学生在学习的过程中出现错误是必然现象，失败乃成功之母，如果不允许学生犯错误，只会使学生怕字当头，逃避现实，不敢去思考和发问，进而扼杀他们的探究、创新精神。错误是正常的，同时，错误也是通向正确的重要的途径，因此，学生的错误也是教学中一种重要的课程资源。教师应当学会正确对待学生在学习中产生的错误，有效利用学生学习中的错误，更充分地营造数学课堂的生机与活力。

一、暴露问题，使错误资源成为教学的着眼点

小学生在理解概念、进行计算时产生的错误常常是有规律的。教学活动前教师应有充分认识，并在教学过程中使其暴露出来。只有这样，才能有效激发学生内心的认知冲突，提高其思维积极性，有效突破教学难点。作为教师，必须从学生错误的暴露和呈现开始，把它作为教学的真正起点，不要急于用自己的思想去“同化”学生的错误观点、错误认识，而应该站在学生的立场去“顺应”他们的认识，掌握其错误思想的运行轨迹，摸清其错误源头，对“症”下药，找到解决问题的好办法。

如在教学《倍数关系三类应用题》时，学生时常把求倍数与求几倍数相混淆。如例题“学校有篮球48个，是足球的2倍，足球有多少个？”这是一个求倍数的一步计算应用题，有学生列48×2=96（个），也有学生列成48÷2=24（个），出现了两个不同的算式，我并没有及时肯定哪个对，哪个错，而是让学生自己再去读一读题，想想篮球、足球到底是谁多？再画画图，通过画图，学生一看就明白篮球的个数多，那为什么还有学生会错呢？原因出在哪儿呢？带着这个问题，我很快找到了答案，关键是学生还没有真正理解谁是倍数，也就是我们常说的标准量，问题找到了，错误率自然就降低了。从这个教学例子中，我们不难发现，挖掘学生的错误资源，是调整教学起点的前提。

针对学生的错误，教师要摆正预设与生成的关系，善于控制教学进程，促进课堂生成。例如，工程问题“一项工作，甲单独做12小时完成，乙单独做13小时完成。如果甲乙二人合作，几小时可以完成？” 学生解题时列出两种算式：

（1）1÷（1÷2＋1÷3）＝115（小时）

（2）1÷（1÷12＋1÷13）＝ 15（小时）

这时我并没有急于表态，而是让学生自己分辨对错。

生1：第一个算式是错误的，因为一个人独做只要13小时或12小时，而两人合作时间反而比一个做的时间还多，肯定不对。

生2：因为1÷2、1÷3不是甲、乙的工作效率。

师：说的好！工作量÷工作时间，才是单位时间的工作效率。也是1÷12或1÷13才是正确的。若要使算式1÷（1÷2＋1÷3）成立，题目要怎样改？

生：因为甲、乙的工作效率分别是12、13 ，所以甲、乙单独完成工作的时间分别是2小时、3小时。

生：要求合作完成的时间，必须先求出甲乙合作的工作效率；要求出甲乙合作的工作效率必须知道各自的工作效率。而要求各自的工作效率必须知道各自独做完成的时间。从算式中1÷（1÷2＋1÷3）中可看出是两人合作，且每人独做的时间分别是2小时和3小时。

师：大家认为他们两人说得对吗？

生（几乎是齐答）：对！

这时，我感到欣慰，同时也意识到有部分学生对“工作效率” 缺乏正确理解。于是，我立即调整教学安排，让学生集中精力讨论“如何求工作效率”，以到达深化认识。因此我要求学生练习如下几道题：①李师傅加工一批零件2小时完成，每小时完成这批零件的几分之几？②王徒弟画一把花伞要0.5小时，每小时可画把花伞? ③李老师写一份招生通告要14小时，每小时可写几份招生通告？④修路队员30分钟修了一段路的14，修路队花2小时可以完成任务吗？

二、辨难释疑，使错误资源成为学生思维发展的支撑点

当学生在学习过程中出现错误时，教师要善于根据学生错误的性质，作出适当的指导。对于因为表述不清、粗枝大叶导致的过失性错误，教师应当鼓励学生重新思考。对于概念不清和思维方法错误导致的理解性错误（或称思维错误），教师则应当通过补充解释、讨论质疑等方法帮助学生在辨难纠错中发展思维能力。

例如判断“假分数的倒数都小于1”时，有的学生丢开了假分数概念的另一部分“或等于”而误判为对；再如判断“钝角都大于90°”时，受概念“大于90°而小于180°的角叫钝角”中“小于180°”的影响,认为题中少“小于180°”而误判为错。这些错误，都是因为学生对概念掌握得不够完整而引起的。要减少这些错误，我们可以通过以下方法来解决：教师要引导学生正确理解概念的内涵、外延以及与相近概念之间的联系与区别，以减少这些错误；学生要及时理清自己在概念、规律理解有疑问或觉得有矛盾的地方；学生在平时学习过程中要不断地整理、积累在练习过程中所体现出的对概念、规律理解的误区。

在四则混合运算中，常有学生产生如下错误：3×7÷3×7＝ 21÷21＝ 1，（52－ 9×4）÷4×25＝16÷100 ＝ 0.16。

我没有立即作出判断，而是让全班学生一同来讨论。一段时间后，学生的意见终趋统一。这时，我又变换角度问学生：“如果要1和0.16分别是上述两道题的正确答案，那么我们该如何修改条件？”这样，就把发生在个别学生身上的错误，巧妙地转化为针对大家的问题，推给全班同学去思考，给学生的思维开启一片崭新的天地。大家展开热烈讨论，课堂气氛十分活跃，学生的学习兴趣得到了有效激发。

对待学生的错误，教师不应当仅仅是否定和告诉正确答案，更重要的是，教师应当通过合适的方式认识学生出错的原因，引导学生一同质疑辨难、讨论分析，使纠错的过程成为学生积极思考的过程，让学生在错误中增长智慧，发展能力。

三、创设情境，使错误资源成为发现探究的生长点

学生学习上的错误，不但是教师教学的立足点，也是学生探索未知世界，尝试发现、创新的宝贵资源。错误往往成为学生自主学习、创生知识的生长点。课堂教学中，当学生出错时，教师可以不直接指导学生纠错，而把问题抛给学生，让他们联系生活实际，在操作、运算、实验、比较中自得、自悟。利用学生学习中出现的错误，给学生创设一个自主探究的问题情境，让学生在纠错的过程中自主发现问题、解决问题，从而培养学生的发现意识。

比如：在“时、分的认识”一节课中，难点之一在于让学生正确读出接近整时的时刻，如：11：55，学生往往会将它看成12：55。于是在课上我就出示了这样一个时刻，让学生们来说一说现在是几时几分。果不出我所料，有的同学说是11：55，有的说是12：55，并且两种答案的人数势均力敌。这时，我并不急于给出答案，而是问他们：“你们谁能证明自己的答案是正确的呢？”生1说：“我认为是12：55，因为时针指着12，分针指着11，所以就是12：55。”生2马上站起来：“我反对。如果是12：55，那么就接近1时了，时针应该靠近1才对，而现在时间是在12那边，说明这个时刻应该是接近12时，当然应该是11：55。”这时多数同学都表示了赞同，我也准备表扬生2并进行小结了，但这时无意中扫过生1，发现他仍然是一副不服气的表情。于是我就停下来，说：“到底谁的答案正确呢？这样吧，谁还能用我们的钟点朋友来证明呢？”课堂上静了下来，一会儿，有同学开始举手了：“我是这样证明的”，他一边拨钟一边说“我们把自己的钟拨到11：30，好，现在慢慢往前拨，让它的分针停在数字11上。这时候应该是11：55，我们继续往前拨，现在分针指着12，才是12时。”下面响起了热烈的掌声。“我还有不同的方法。”另一个孩子迫不及待地说：“我们可以先把时间拨到12时，现在慢慢往后倒退，现在是11：55。”我悄悄地观察，那个孩子的脸上终于露出了理解的表情。这时我追问：“那么，我们刚才为什么会将11：55与12：55混淆呢？”学生们开始了进一步的思考……

在上面的例子中，我从学生的错误入手，引导学生将错误答案与正确答案进行对比，让学生自己去剖析自己的错误，并通过动手实践证明自己的观点，进而思考自己为什么会出现这样的错误。让学生在这一系列思维的交锋、碰撞中获得真知，提升自己的思维能力。

总之，错误是课堂教学的宝贵资源，是正确的先导，是思维火花的闪现。真正关注学生学习的过程，就要有效利用错误这一资源，在教学中要善于把握机会，正确创造性地对待学生的错误资源，适机诱导，帮助他们真正理解和掌握数学思想和方法，从错误中获得更多更完美的知识。最终，让错误成为数学课堂教学生成的有效资源，从而促进学生的发展。

[1]教育部.《数学课程标准》.北京师范大学出版社，2001年版.

[2]斯苗儿.《小学数学典型课例评介》.浙江科学技术出版社.

[3]钟启泉.《新课程中教师角色的转变》.

[4]顾泠沅等.《面向21世纪数学学科教育改革行动纲领》.上海教育出版社，2001年版.

[5]《小学数学新课程案例与评析》.高等教育教育出版社，2003年9月第1版.

[6]孙晓天.《新课程标准解读》.北京师范大学出版社，2002年5月第1版.