动力系统中几个概念之间的联系*

霍瑞丽

(重庆师范大学 数学与计算机科学学院，重庆 400047)

1 基本概念

定义1［1］设(X，Γ)是一个拓扑空间，x∈X，如果U是X的一个子集，满足条件:存在一个开集V∈Γ，使得x∈V⊂U，则称U是点x的一个邻域.点x的所有邻域构成的X的子集族称为点x的邻域系.

定义2［2］设f:X→X是集合X到自身的一个映射，记fn(x)=f°fn-1(x)，f0(x)=x，n为正整数，称fn(x)为f(x)的n次迭代，并称n为fn关于f的迭代指数.

从定义2可见，f0=id，fm°fn=fm+n，其中id表示恒同映射.映射的迭代构成了一个半群.如果f是拓扑空间X的连续映射，其迭代构成了一个离散半动力系统{fn:n∈Z+}.如果f在X上同胚，其迭代构成了一个离散动力系统{fn:n∈Z}，两者都简记为(X，f).

定义3［3］设(X，f)是离散动力系统，x∈X，通过x轨道的 ω-极限集和 α-极限集分别定义如下:(x)={y∈+ ∞ ，使(x)→y};αf(x)={y∈+∞ ，使f-nj(x)→y}.其中，nj↗ +∞ 表示nj严格递增.当(X，f)是离散半动力系统时，只有ω-极限集.

定义4［2］设(X，f)是离散动力系统，x∈X，若存在自然数p，使得fp(x)=x，则称x是f的周期点.满足这一关系的最小自然数p称为x的周期.周期为1时，称x是f的不动点.用Perf(x)(x)((x))分别表示过x的周期轨道，周期轨道的正(负)半轨道.显然，Perf(x)=(x)∪(x)，当(X，f)是离散半动力系统时，周期轨道只有正半轨道，此时Perf(x)=(x).

定义5［2］设(X，f)是离散动力系统，点x∈X称为是f的游荡点.如果存在x的邻域U，使得fk(U)∩U=Ø，∀k∈Z{}，不是游荡点的点x称为非游荡点.这时，对x的任意邻域U，都有整数k≠0，使fk(U)∩U≠Ø.非游荡点的集合记为Ω(f).

定义6［2］设X是紧致度量空间.动力系统f:X→X被认为具有拓扑混合性，如果对任意两个非空开集U，V⊂X都存在整数N＞0，使得fn(U)∩V≠Ø，∀n＞N.

2 主要结果

定理1 设(X，f)是离散动力系统，x∈X，若p为x的周期，则ωf(x)=(x)={f0(x)，f1(x)，…，fp-1(x)};αf(x)=Perf-(x)={f0(x)，f-1(x)，…，f-(p-1)(x)}.

证明x∈X，p为x的周期，0≤i≤p-1且i∈N，对每个fi(x)∈(x)，有fi(x)=fkp+i(x)，k∈N，故存在ik=kp+i，使得(x)→fi(x)(ik↗ +∞).由定义3有fi(x)∈ωf(x)，所以(x)⊆ωf(x).

另一方面，∀x0∈ωf(x)，因过x的轨道为周期轨道，因此存在k∈N，0≤i≤p-1且i∈N，使得x0=fkp+i(x)=fi(x)，故x0∈(x)，因此，ωf(x)⊆(x)，所以 ωf(x)=(x).

同理可证 αf(x)=(x).

3 相关命题及推论

推论1 设(X，f)是离散动力系统，x∈X.若p为x的周期，则ωf(x)=Per(x)={f0(x)，f1(x)，…，fp-1(x)}.

推论2 设(X，f)是离散动力系统，x是f的不动点，则αf(x)=ωf(x)={}x，观察定义5和定义6，发现它们的结构相似，因此有以下结论:

命题1 如果动力系统f:X→X是拓扑混合的，则Ω(f)非空.

证明 因为f是拓扑混合的，则对任意两个非空开集U，V⊂X，都存在整数N＞0，使得fn(U)∩V≠Ø，∀n＞N.

特别地，取V=U，则有:对开集U⊂X，都存在整数N＞0，使得fn(U)∩U≠Ø，∀n＞N.设x∉X，∀U∉μx，由邻域的定义和U为X中的开集知，x∉U⊂U，同时取k=N+1，则有fk(U)∩U≠Ø，根据非游荡点的定义知，x为f的非游荡点，即Ω(f)非空.

致谢:本文撰写过程中得到了导师金渝光教授的悉心指导，特此表示感谢!

［1］熊金城.点集拓扑讲义［M］.北京:高等教育出版社，2003

［2］张伟年.动力系统基础［M］.北京:高等教育出版社，2001

［3］陈绥阳，褚蕾蕾.动力系统基础及其方法［M］.北京:科学出版社，2002

［4］晏炳刚.拓扑动力系统中几个重要概念的关系［J］.周口师范学院学报，2007，24(2):32-33

［5］IRWIN M C.Smooth Dynamical Systems［M］.Academic Press，1980

［6］程伟.关于拓扑动力系统中几个点集的等价性问题［J］.重庆理工大学学报:自然科学版，2009，23(12):152-153