EGARCH模型在VaR中应用

李纯净, 董小刚*, 张朝凤

(1.长春工业大学基础科学学院,吉林长春 130012;2.吉林大学数学学院,吉林长春 130012)

1 模型的理论分析与建立

金融市场波动性和风险的加剧,导致了金融市场风险管理的必要性。证券风险是金融市场风险管理的重要方面,它是指未来证券价格或收益的不确定性或波动性。证券风险管理的基础和核心是对风险的定量分析和评估。近年来,风险价值成为金融界广泛认可的一种度量金融风险的工具。在金融时间序列里,收益率的分布存在着尖峰厚尾性,股票的价格波动还存在有杠杆效应。收益的波动不仅随时间波动,而且常常会出现波动聚集现象,即一次大的波动后伴随着较大幅度的波动,一次小的波动后伴随着较小幅度的波动。从统计学上看,这样的序列往往存在着异方差现象。为捕获金融时间序列的波动集群性,Bollerslev于1986年在ARCH模型中增加了自回归项,对ARCH模型的条件方差函数进行拓展,使待估参数大为减少,从而模型的识别和估计都变得比较容易。由于杠杆效应的存在,导致了股市中的非对称性,即股价的下跌要比股价的上涨引起更大的波动。为捕获这种非对称性因子,又衍生了一种新的ARCH类模型,即Nelson提出的EGARCH模型。应用EGARCH模型对条件异方差的估计和预测效果要比其它模型更好些。以上模型虽然同时考虑了金融时间序列的波动集群性及其分布的尖峰厚尾特征对VaR估计的影响,但研究表明,通常基于正态分布和t分布假定下的VaR参数法在一定置信水平下计量风险时会严重低估风险;同时,用广义误差分布(GED)来描述收益率的厚尾特征,计算结果比较精确,但是计算量大,比较繁琐。文中在EGARCH模型的基础上,提出了基于EGARVCH-VaR的半参数方法,并且与正态分布和 t分布假设下的GARCH模型的VaR计量方法进行比较,通过实证分析,并利用后验测试,表明其对风险价值的测度优于正态分布和t分布假设下的GARCH模型的VaR计量方法。

在GARCH模型中,要考虑两个不同的设定:一个是条件均值,另一个是条件方差。

标准的GARCH(1,1)模型为:

式(1)给出的均值方程是一个带有误差项的外生变量函数。由于σ2t是以前面信息为基础的一期向前预测方差,所以被称作条件方差,式(2)也被称作条件方差方程。

式(2)中给出的条件方差有3个组成部分:

1)常数项 ω;

2)用均值方程的残差平方的滞后来度量从前期得到的波动性的信息(ARCH项);

GARCH(1,1)模型中的(1,1)是指阶数为1的自回归项,GARCH项(括号中的第1项)和阶数为1的动平均项,ARCH项(括号中的第2项)。GARCH模型都是通过极大似然函数方法估计的,如果假定误差服从条件正态分布,那么GARCH(1,1)模型在t时刻的对数似然贡献为:

其中

GARCH(1,1)模型的这种设定通常可以在金融领域得到解释。因为代理商或贸易商可以通过建立长期均值的加权平均(常数)、上期的预期方差(GARCH项)和在以前各期中观测到的关于变动性的信息(ARCH项)来预测本期的方差。

在上面假设ut的条件方差分布可以是正态分布,学生t分布或广义误差分布,但是还可以进行更大的拓展。进一步的改进是允许σ2t和ut具有比前面假设的二次方程映射更加灵活的关系。EGARCH模型就是在这种思想上发展起来的。EGARCH模型中的条件方差方程为:

等式左边是条件方差的对数,这意味着杠杆影响是指数的,而不是二次的,所以条件方差的预测值一定是非负的。杠杆效应的存在能够通过γ＜0的假设得到检验。只要γ≠0冲击的影响就存在非对称性[1-2]。

VaR(Value at Risk)即风险价值,其含义是指在给定的时间间隔、置信水平及正常的市场条件下,资产价值的潜在期望损失:

VaR表示为:

文中ω0为股票指数的初始值,在此标准化为1。为保证计算的精确性,讨论测度期限为1日的VaR:

半参数方法是参数法和非参数法的混合体,它的提出主要针对解决收益序列的分布问题。半参数法的主要思想就是利用参数的方法得到样本数据的条件标准差,然后使用非参数的方法得到样本数据分布的分位数,进而利用二者的乘积得到风险价值的估计。其计算步骤为:

步骤1,利用收益序列构造EGARCH模型,得到均值方程,然后进行模型参数估计,并求解收益序列的条件标准差。

步骤2,利用非参数方法的倒分位数,即在一定的置信水平下,将收益序列按由小到大的顺序进行排列,找出第1%的样本总数各样本点的数值。这个数值就是期限为1日,99%置信水平下的VaR值。直接利用样本数据求解收益序列的标准差σt,得到一定置信水平下的分位数:

步骤3,计算收益序列的VaR,通过步骤1得到的条件标准差和步骤2得到的分位数,利用式(8)计算得到一定置信度下收益序列每天的VaR。VaR是一个统计估计值,其准确程度受到估计误差的影响,故需进行严格的检验。通常的检验准则是通过“失败率”来检验的。记录实际发生的损失,然后计算超过VaR的次数(或者天数)比例是否大于设定的置信度。它是指检验VaR模型的计算结果对实际损失的覆盖程度。选取样本期内所有交易日内的VaR与同期实际收益r进行对比,计算溢出天数X:

然后计算溢出率:

将E值与置信水平1-c进行比较,来判定模型的准确性。若E＞1-c,说明模型低估了风险;若E＜1-c,表明模型的预测结果覆盖了实际的损失。如果 E太小,则表明模型估计过于保守[3]。

文中以银泰股份2006年1月1日至2009年6月4日的每日收盘价为分析对象,对我国股票市场风险进行实证分析,共有770个交易数据。数据来源于大智慧软件。

文中采用Eviews软件和Excel对数据进行实证分析[4-5]。

2 模型的实证分析

股票指数的收益率形式采用自然对数收益率形式 ,即:

利用软件计算出收益数据序列的基本统计量值,得到如下结果:

1)样本偏度值为-0.482,表明收益率序列分布左偏,样本峰度值为4.687,大于标准正态分布的峰度值3,表明对数收益率分布具有尖峰性。说明收益率序列分布具有尖峰厚尾特征。

2)Jarque-Bera正态性检验值为121.004,P值为0,说明在极小的水平下,收益序列显著异于正态分布。

3)进一步研究数据的平稳性,对数据进行单位根检验。

然后用Eviews软件计算出收益率序列单位根检验的结果,收益序列的ADF值为187.558,P值为0,结果很显著。

在软件上继续计算出收益序列的单位根检验,得到1%的Mackinnon临界值为-3.439,t统计量值为-23.831,P值为0,拒绝存在单位根的假设,这说明收益序列是平稳的。

最后对收益数据进行自相关检验,得到结果收益序列平方相关检验的置信度小于0.05,收益序列的平方表现出很强的自相关,说明不同时期观察值之间存在非线性关系,收益率的波动有集群性[6-8]。

3 模型的参数估计

根据样本对数收益数据,对EGARCH模型进行参数估计,结果见表1。

表1 EGARCH模型的参数估计结果

在表1的输出结果中,C(2)代表了式(5)中的常数项 ω;C(3)系数 α;C(4)是式(5)中的非对称系数 γ;C(5)代表了式(5)中 ln()项系数 β。

从表1中参数结果可以看出:

1)ω的值很小,反映出市场的风险很大。

2)α大于0,说明实际股票波动呈现集群性现象,即过去的波动扰动对市场未来波动有着正向而减缓的影响,较大幅度的波动后面一般紧接着较大幅度的波动,说明股市参与者投机性较强。

3)由于模型中α+β的值大于1,说明波动具有持久性,当前信息对预测未来的条件方差很重要。

4)非对称效应参数γ为负,说明在我国证券市场中,负收益率冲击所引起的波动大于同等程度的正冲击所引起的波动,即存在明显的“杠杆效应”,“利空信息”能比等量的“利好信息”产生更大的波动:当出现“利好信息”时,会给条件方差的对数带来一个0.204(=0.226+(-0.022))倍的冲击;而出现“利空消息”时则会给条件方差的对数带来一个0.248(=0.226+(-0.022)×(-1))倍冲击。同时,也表明EGARCH(1,1)对收益率分布的拟合好于GARCH(1,1)模型[9-10]。

4 模型的后验测试

根据所建立的EGARCH(1,1)模型计算得到的σt,利用式(9)计算出分位数zα,然后将二者代入式(8),得到VaR值。该值给出了银泰股份的股票市场价格指数在置信水平99%水平下的最大损失下界,然后进行后验测试。

在本实例中,基于EGARCH模型半参数方法估计的VaR值的计算结果见表2。

表2 基于EGARCH模型的半参数法计算的VaR值

由表2可以看出,分位数Zα值为-2.142,结合VaR值,计算出实际收益低于VaR的天数为10 d,溢出率为1.3%。

在正态分布和 t分布假设下的GARCH(1,1)模型的VaR计量方法的计算结果见表3。

表3 基于正态分布和t分布假定下GARCH(1,1)模型计算的VaR值

从表2可以看出,在99%的置信水平下,EGARCH模型的溢出率为 1.3%,接近于 1%(=1-99%);由表 3可以看出,在正态分布下GARCH模型计算的VaR值的溢出率为6.2%,而t分布下的溢出率为7.8%,远远大于1%。表明在正态分布和t分布下的GARCH模型在计量风险时严重低估风险,而基于EGARCH模型的半参数法,预想实际收益低于VaR的比例1%时,按照半参数方法计算的结果,有1.3%的实际收益损失值大于VaR,与1%较为接近,得到的VaR值较为稳健和精确。

5 结 语

1)实证分析表明,资产的收益率不是正态分布的,而是尖峰厚尾的,并且波动具有聚集性,存在杠杆效应。即在股票市场中,我们经常可以看到这样的现象:预期的看空或利空消息出台等负面冲击要比预期看多或利好消息出台等正面冲击对大盘股指波动的影响更为剧烈,即股市下跌的反应要比股市上涨的反应更为迅速,表现出一种非对称效应,这种效应也被称为“杠杆效应”。我国股市亦存在这种非对称冲击效应,它显现出投资者的投资理念不强,信心不足。

2)由于受到市场发展水平、参与者成熟程度以及对利空和利好信息的反应差异等诸多因素的影响,收益率序列往往不是对称分布,而是呈现出不同程度的左偏和右偏,而一般的研究没有充分考虑收益率的分布特征,往往简单地假定为正态分布,虽然学生t分布能够较好地描述收益率尖峰厚尾的特征,广义误差分布综合了正态分布和学生t分布的特点,能够更加灵活地反应尾部特征,但这3种分布终究是对称分布,很难在偏态分布的情况下得到参数的准确估计。

3)对基于EGARCH-VaR的半参数方法与正态分布的和t分布假设下的GARCH模型的VaR计量方法进行比较,表明前者对风险价值的测度优于正态分布和t分布假设下GARCH模型的VaR计量方法。

4)对基于EGARCH模型的风险计量模型考虑到收益率的时变异方差性和“杠杆效应”,计算得到的VaR值更稳健和精确。

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