用最小二分法进行已知两端点及半径圆弧测设

赵崇山

施工中常会遇到一些圆弧造型的放线工作,一般情况下,圆弧的起点、终点、半径设计中都会给定,而扫圆弧半径由于现场条件限制,如半径较长、存在障碍物甚至圆心位于空中位置,直接从圆心放圆弧并不现实。这里介绍一种简单易行的放线方法。

1 计算过程

如图1所示:已知圆弧起点 A,B,半径 R,AB直线距离L1为已知(或可现场内测量得知)。

其矢高为:

H1=R-sqrt(R×R-L1×L1/4)(圆心角不大于180°时)。

特殊的,H1=R+sqrt(R×R-L1×L1/4)(圆心角大于180°时)。

作 AB垂直平分线,量H1得 C11点。

则 AC11=C11B=L2,L2=sqrt(L1×L1/4+H1×H1)。

依次类推,得各最小二分点:一级点:C11;二级点:C21,C22;三级点:C31,C32,C33,C34;……i级点:Ci1,Ci2,…,Cin(n=2i-1)。 Hi=R-sqrt(R ×R-Li×Li/4)。 Li+1=sqrt(Li×Li/4+Hi×Hi)。列表1计算(可利用Excel公式计算功能)。

表1 二分法计算表

根据测设精度要求,直至:Hi+1＜δ/2(其中,δ为规范允许偏差)。

2 操作步骤

1)测设 A,B端点。2)连线 AB为1级弦,尺量 LAB/2找出弦 AB中点,以此中点用方尺垂直弦 AB量H1,得一级点 C11点。3)连接起始点及 1级点,得2级弦(有2条),尺量 L2/2找弦中点,以各中点用方尺垂直各弦量 H2,得二级点 C21,C22点。4)重复以上步骤。5)连接起始点及1级～i-1级点得 i级弦(有2i-1条),尺量 Li/2找弦中点,以各中点用方尺垂直各弦量 Hi,得i级点Ci1,Ci2,…,Cin(n=2i-1)点。6)测设点数统计见表2。7)此时,可光滑连接起始点及1级～i级各二分点[也可以直(i+1级弦)代弧连接],得到所求圆弧放样线(见图2)。

表2 测设点数总统计表

3 举例

例:已知圆弧半径R=19.67 m,起始点 A,B距离为 8 m,则各级数据计算如表3所示。

表3 各级数据计算表 mm

从表3中数据可以看出,测设点收敛至四级时,以弦代弧所得连线(5级弦)产生理论误差应为五级时对应 H5=2 mm＜8/2=4 mm(以混凝土结构为例,建筑施工质量验收规范允许轴线偏差为8 mm)。

表4 测设点数统计表