简述三角函数题的7种解法

2010-08-27 03:37邵贤虎江浦高级中学江苏南京211800
中学教研(数学) 2010年12期
关键词:评析数形直观

●邵贤虎 (江浦高级中学 江苏南京 211800)

三角函数是高考和竞赛中的重要内容,属于试题中的基础题.三角函数可以与其他知识综合在一起,演绎精彩的方法.笔者总结了三角函数题的7种解法,供参考.

原题重现 已知角x满足3cosx+4sinx=5,求tanx.

1 回归定义,追本溯源

解法1 设P(a,b)为角x终边上任意一点,点P到原点O的距离为r,则

评析 利用三角函数的定义解题是比较容易忽视的方法,应充分认识定义的解题价值.回归定义,经常会有特别的收获.

2 巧妙配凑,意外惊喜

评析 解题是不断尝试的过程,需要信心和敢想敢做的勇气.很多巧解都来源于大胆的想法,始终要相信题目都是“编”出来的!

3 数列登场,良性互动

解法3 因为

评析 等差数列的出现给三角函数吹入了一股清新的空气,转化为公差的等式可以说是水到渠成.本题告诉我们:知识和方法是相互联系的,可充分发挥各自的优点,为解题服务.

4 巧用对偶,对称和谐

评析 数学中有很多问题有着和谐的对称美,若能善于挖掘与利用这种关系,则往往会有意想不到的收获.在解某些数学问题时,针对其中的式子A的特点,为其配凑一个合适的式子B,使得由A和B之间的运算,能产生一些有用的关系式,促使问题向有利的方向转化,进而解决问题.

5 数形结合,形象直观

解法5 作 Rt△ABC,使得 AC=3,BC=4,则AB=5.作CD⊥AB于点 D,设∠A=α,则∠BCD=α.由图1可得

评析 数形结合就是根据问题的具体情况,把图形性质的问题转化为数量关系的问题,通过代数方法分析数量关系来揭示直观图形的性质,或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题,用几何图形直观地刻画数量关系,从而使抽象思维和形象思维结合起来,使抽象问题具体化,最终得到解决.

图1

6 相等问题,不等解决

评析 数学中有些相等问题可以用不等知识来解决.运用三角函数的有界性或均值不等式中等号成立的条件等途径,通过不等导出相等,以此揭示问题中的隐含条件,揭示等与不等矛盾差异的内在联系,使问题得以简洁、明快地解决.

[1] 俞新龙.新课程教材习题教学的实践探索[J].中国数学教育,2008(6):25-27.

[2] 武瑞雪.三角函数题“正确解法”后的反思[J].中学教研(数学),2010(9):26-29.

[3] 陈久贵.数学探究的鲜活资源——一道课本习题的探究案例[J].数学通报,2008(4):25-27.

[4] 余锦银.三角函数问题中隐含条件的挖掘[J].中学教研(数学),2008(7):23-25.

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