正压流体中具有β效应与地形效应的强迫Rossby孤立波*

宋健 赖俊峰

(内蒙古工业大学理学院数学系，呼和浩特010051)

(2009年10月16日收到;2009年10月28日收到修改稿)

正压流体中具有β效应与地形效应的强迫Rossby孤立波*

宋健 赖俊峰†

(内蒙古工业大学理学院数学系，呼和浩特010051)

(2009年10月16日收到;2009年10月28日收到修改稿)

正压流体中，从有外源的准地转位涡方程出发采用摄动方法和时空伸长变换推导了具有β效应、地形效应和外源的强迫Rossby孤立波方程，得到孤立Rossby波振幅的演变满足带有地形与外源强迫的非齐次Boussinesq方程的结论.通过分析孤立Rossby波振幅的演变，指出β效应、地形效应以及外源都是诱导Rossby孤立波产生的重要因素，说明在地形强迫效应和非线性作用相平衡的假定下，Rossby孤立波振幅的演变满足非齐次Boussinesq方程，给出在切变基本气流下地形和正压流体中Rossby波的相互作用.

非齐次Boussinesq方程，β效应，地形，外源

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1. 引言

地球物理流体中，Rossby波是指生命史很长结构上有组织的前后一致的大尺度永久性波动，并且这些波动具有稳定的、大振幅孤立波特征.对于正压流体，Long［1］在1964年做了开创性的研究，得到在β平面近似下Rossby波振幅演变满足Kortewegde Vries(KdV)方程，Benney［2］在1966年推广了Long的结论，同时还得到Rossby孤立波波速与波振幅有关的结论，刻画了非线性的重要性.Larsen［3］和Clarke［4］也研究了Rossby孤立波振幅的演变，他们得到了一系列与文献［1］类似的结果.Redekopp［5］和Wadati［6］从正压流体和分层流体的模式推导了Rossby孤立波振幅演变的方程分别满足KdV方程和改进的KdV(mKdV)方程的结论，极大地推广了文献［1］的结果.Redekopp等［7］研究了切变气流中Rossby孤立波的产生，指出在纬向流中Rossby孤立波存在的必要条件.Maslowe等［8］讨论了在分层流体中纬向流切变对Rossby波的影响.Charney和Straus［9］基于准地转位涡度方程构造了一个β平面通道中考虑地形、非绝热加热和摩擦的正压大气模式，这项工作开创了大气多平衡态非线性动力学的研究［10］.Boyd［11，12］用多重尺度方法，从基本方程导出在正压流体中小振幅Rossby孤立波振幅演变满足非线性KdV方程和mKdV方程.刘式适和谭本馗［13］研究了Rossby参数随纬度的变化，罗德海［14，15］用推广的β平面近似模式研究了Rossby孤立波和β随纬度变化的关系，得到β随纬度变化可能是偶极子阻塞的原因.赵强［16］讨论了地形对热带大气超长尺度Rossby波的影响，指出了地形随纬度的变化能够导致热带大气超长尺度Rossby波波动的不稳定.Meng等［17］利用扰动展开和时空伸长变换导出了包括地形和外源的非齐次Boussinesq方程，讨论了近共振地形强迫Rossby孤立波的产生，显示出地形对扰动具有明显的增幅作用.达朝究和丑纪范［18］研究了地形随时间缓变时Rossby波振幅的演变问题.宋健和杨联贵等［19—22］在正压流体与层结流体中分别给出β效应与地形效应对Rossby孤立波振幅的影响，张亮等［23］给出了正压Rossby波扰动能量问题，汪萍和戴新刚［24］讨论了外强迫作用下正压大气非线性特征数值模拟，说明了大气大尺度非线性运动的某些特征.孤立波解在非线性问题中占有重要地位，给出了许多求孤立波解的方法［25—29］，如Hirota双线性方法［30］、椭圆函数展开法［31，32］等被广泛应用.本文在基本气流有切变的条件下研究了β平面近似与非线性地形变化及其外源对Rossby孤立波振幅的演变.

2. 方程的推导

2.1. 控制方程与边界条件

考虑有地形和外源无量纲形式的准地转位涡方程［17，33，34］

方程(1)中，ψ是流函数，2为Laplace算子，定义为

β平面近似取为β(y)y，即β是纬度变量y的函数［19—22］，h(x，y)，Q(x，y)分别是地形廓线和外源.

侧边界条件为刚壁条件的无量纲形式，取

2.2. 带有强迫项的非齐次Boussinesq方程

取基本流函数为纬向流

总的流函数

其中ψ′是扰动流函数，将(5)式代入方程(1)与边界条件(3)同时略去扰动流函数的撇号，得到扰动流函数的方程及边界条件

式中(β(y)y)′是β(y)y对变量y的一阶导数，U″是U(y)对变量y的二阶导数，是Jacobi算子.

边界条件为

为了使方程(6)中的非线性效应与频散项相平衡，对变量x，t引进缓变坐标

并且假设

将(8)，(9)式代入方程(6)，(7)得到

上述方程中已没有快变量x，t，只有缓变量X，T，为了表示方便引进两个微分算子

(12)式中p=(β(y)y)′－U″，这样方程(10)可以写为

假设扰动流函数有如下的小参数展开形式［35］:

将(15)代入方程(14)和边界条件(11)，并应用两个微分算子L0，L1，得到各阶摄动问题的方程与边界条件.

对于O(ε1)阶，有

方程(16)中已假设U－c0≠0.

假设ψ0有如下形式的分离变量解:

(19)，(20)式构成一个本征值问题，从该本征值问题中能够确定本征函数Φ0(y)与本征值c0，对于确定的p(y)，Φ0(y)就能被确定.由于p(y)是关于纬度变量y的非线性函数，方程(19)，(20)很难获得解析解.另外，在本阶问题中，只能确定波的空间结构，而不能确定波振幅随时间的演变.为了确定波振幅A(X，T)的演变，继续求解高阶问题.

对于O(ε2)阶，有

为了得到Rossby波振幅的数学模型，我们继续求解更高阶的问题.

对于O(ε3)阶，有

以农村污染治理为例。我国当前的环境保护工作对于工业和城市污染的重视程度要远高于对农村污染的防治,虽然这两年中央加大了对农村污水和垃圾等问题的投入,但农村污染防治工作还远不到位。对于农村污染防治工作这个短板,未来首先需要解决的就是环保部和相关部门应尽快出台全面的顶层设计和部署,将农村环境污染防治工作作为乡村振兴计划的重要组成部分加以统筹规划。

将ψ0=A(X，T)Φ0(y)以及方程(19)，(23)代入方程(27)的右端得

得到消奇异条件

这表明，若摄动问题(15)式有效，P必须满足方程(30)，否则将出现无穷大振幅的奇异效应，即共振现象.将(28)式代入方程(30)，有

若记

这样，方程(31)可简写为

方程(32)说明正压流体中Rossby孤立波振幅的演变满足非齐次Boussinesq方程，系数α1，α2，α3依赖于函数β(y)，U(y).F1与地形廓线H(X，y)有关，F2与外源S(X，y)有关，如果F1，F2为常数，即不存在地形效应和外源，此时方程(32)是齐次Boussinesq方程，其孤立波解

其中A0是初始孤立波振幅，(34)式显示了孤立波向两端传播.方程(32)说明β(y)，U(y)，地形H(X，y)和外源S(X，y)能够诱导Rossby孤立波.此外，由(31)式可以看出，孤立波的存在还必须满足

这表示不能产生正压不稳定［36］.事实上，一旦产生正压不稳定，就不可能保持恒定波型了.

3. 结论

正压流体中，应用摄动法导出了Rossby孤立波振幅的演变满足非齐次Boussinesq方程，当基本气流有切变，非线性β效应、地形效应以及外源都是Rossby孤立波产生的重要因子.

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PACC:4735，0340K

*Project supported by the Foundation of the Education Department of Inner Mongolia，China(Grant Nos.NJZY08005，NJ09066)and the Science Research Foundation of Inner Mongolia University of Technology，China(Grant Nos.X200829，X200933).

†Corresponding author.E-mail:ljfimpu@sina.com

Forced solitary Rossby wave with beta effect and topography effect in barotropic flows*

Song Jian Lai Jun-Feng†
(Department of Mathematics，College of Sciences，Inner Mongolia University of Technology，Hohhot010051，China)
(Received 16 October 2009;revised manuscript received 28 October 2009)

For the barotropic fluid，based on the quasi-geostrophic potential vorticity equation，an inhomogeneous Boussinesq equation including topographic forcing and an external source is derived by employing the perturbation method and stretching transform of time and space.Through inspection of the evolution of the amplitude of the Rossby wave，it is found that Coridis effect，topography effect and an external source are the key inducing factors of the solitary Rossby wave if the basic stream function has a shear flow.Assuming that there is a balance between nonlinear and topography effects，an inhomogeneous Boussinesq equation is derived.The results show that the topography and the Rossby wave interact in the barotropic flow.The inhomogeneous Boussinesq equation describing the evolution of the amplitude of solitary Rossby waves with the change of Rossby parameter β(y)with latitude y，topographic forcing and the external source is obtained.

inhomogeneous Boussinesq equation，β effect，topography，an external source

book=395,ebook=395

*内蒙古教育厅基金(批准号:NJZY08005，NJ09066)和内蒙古工业大学科学研究基金(批准号:X200829，X200933)资助的课题.

†通讯联系人.E-mail:ljfimpu@sina.com