最优控制理论在医疗设备控制中的应用

舒灏 华中科技大学同济医学院附属同济医院 (武汉 430070)

0 引言

医疗设备成为医院现代化程度的重要标志之一和提供医疗服务的重要物质基础。随着医院的不断发展壮大,医疗设备的更新换代也就更为常见。各级各类医院的医疗设备总量不断增长，一方面满足了日益增长的医疗卫生需求，另一方面也出现了医疗设备配置是否合理、投入资金是否得以有效利用、使用率和完好率的高低、经济效益和社会效益好坏等一系列问题亟待研究。医院分析医疗设备配置管理现状，加强医疗设备，尤其是大型医疗设备的管理及效益统计和分析是相当必要的，可以指导科学投资、改善经营管理、提高综合效益。

因此建立医疗设备的成本效益观念,加强设备投入与产出分析,为医疗机构科学投资、改善经营管理以及社会与经济效益提供了重要保证。目前加强对医用设备的成本管理,并通过控制初始投资规模、合理配置资源和提高设备利用率来提高投资的经济性是非常必要的。

1 问题分析与假设

某医院购买了一台大型医疗设备投入到使用中，该医疗设备随着运行时间的增加其磨损程度也愈来愈大，而其转卖价将随着使用设备的时间增加而减少；另一方面医疗设备总是要进行日常保养，花费一定的保养费，保养可以减缓设备的磨损程度，从而提高设备的转卖价。如何确定医疗设备的最优保养费和转卖时间，使得这台设备的经济效益最大是本文的研究内容。

根据上述分析，现作如下假设：

(i)设备随其运行时间的推移，磨损程度越来越大。t时刻设备的磨损程度可以用t时刻转卖价的损失值来刻画，其称其为磨损函数或废弃函数，记为m(t)。

(ii)医疗设备的转卖价是时间t的函数，计为p(t)。p(t)的大小与设备的磨损程度和保养费的多少密切相关。记初始转卖价p(0)=p0。

(iii)保养设备可以减缓设备的磨损速度，提高转卖价。如果u(t)是单位时间的保养费， 是g(t)时刻的保养效益系数(每用一元保养费所增加的转卖价)，那么单位时间的保养效益为g(t)u(t)。另外，保养费不能过大(如单位时间保养费超过单位时间产值时，保养失去了意义)，只能在有界函数集中选取，记有界函数集为W，则u(t)∈W。

(iv)设单位时间的产值与转卖价的比值记为k，则kp(t)表示在t时刻单位时间的产值，即t时刻的使用率。

(v)转卖价p(t)及单位时间的保养费u(t)都是时间t的连续可微函数。为了统一标准，采用它们的贴现值。对于贴现值的计算，例如转卖价p(t)的贴现值计算，如果它的贴现因子为δ(经过单位时间的单位费用贴现)，那么由

解得

令t1=0，使得t时刻单位费用的贴现(称贴现系数)为e-δt，所以设备在t时刻转卖价p(t)的贴现为p(t)e-δt。仿此计算，u(t)的贴现为u(t)e-δt，单位时间产值的贴现为 kp(t)e-δt。

(vi)欲确定的转卖价值时间tf和转卖价p(tf)都是自由的。

2 模型构造

根据以上的分析与假设可知：考察的对象是设备在使用中的磨损—保养系统；转卖价体现了磨损和保养的综合指标，可以选作系统的状态变量；在使用中设备磨损的不可控性强，其微弱的可控性也是通过保养体现，加之保养本身具有较强的可控性，所以选单位时间的保养费u(t)作为控制策略。这样，医疗设备的最大经济效益模型可以构成为在设备磨损—保养系统的(转卖价)状态方程：

之下，在满足0≤u(t)≤U的函数集W中寻找最优控制策略u*(t)，使系统的经济效益这一性能指标

为最大，其中tf，x(tf)都是自由的。

3 模型分析求解

根据上述模型可以得出关于医疗设备管理的哈密顿函数

再由协态方程及边界条件求出λ(t)，即由

解得

下面利用最大值原理求u*(t)。先将(3)式改变为

显然，H是对u的线性函数，因此得到

或

设u*(t)=U与u*(t)=0的转换点为ts，则转换点ts应满足

即

从而可得出ts。

因为g(t)是时间t的减函数，所以(6)式的左端也是时间t的减函数，也就是说u*(t)随时间应由U到0。医疗设备最优控制策略的具体表达式为：

4 算例

设某医院购进医疗设备，其中p0=100，U=1，确定其最优控制策略，即确定tf，p(tf)和u*(t)。

由(6)式可求得ts的公式

当t>ts时， ，状态方程为

于是t>ts时，有

从而得到

于是

当t=ts时，由(8)式有

即

将(7)和(9)联立，利用Matlab求得

于是，最优控制策略(保养费)为

5 结论

在本文中，针对医院大型医疗设备的经济效益问题，采用最优控制理论，建立了优化模型，得出了医疗设备最优控制策略的具体表达式，最后给出了实际算例，为医院改善经营管理以及社会与经济效益提供了依据。

［1］张可骢,王丽丽,贺文钧.医疗设备报废的政策研究.医疗装备, 2007, (3): 37-38

［2］吴受章.编著最优控制理论与应用.机械工业出版社,2008

［3］王启全,陈文敏,李怡勇.医院医疗设备经济效益评价.医疗卫生装备, 2003, 34(3):11 ■