时间周期Hamilton-Jacobi方程渐近解的表达式

王 超,朴大雄

(中国海洋大学数学科学学院,山东青岛266100)

时间周期Hamilton-Jacobi方程渐近解的表达式

王 超,朴大雄

(中国海洋大学数学科学学院,山东青岛266100)

本文研究时间周期Hamilton-Jacobi方程的长时间渐近解。通过给出时间周期情形下的Aubry集的定义,得到2个周期渐近解的表达式。

表达式;Hamilton-Jacobi方程;渐近解;Aubry集

0 引言

设M为n维光滑无边紧流形,考虑下面的时间周期Hamilton-Jacobi方程的Cauchy问题

其中Hamilton函数H(t,x,p)满足下列假设:

(A1)H(t,x,p)∈C(R×M×Rn);

(A2)对于所有的(t,x)∈R×M,H(t,x,p)关于p是严格凸的;

(A3)H(t,x,p)是强制的,即对任意R>0,

(A4)H(t,x,p)关于t是以T为周期的,不失一般性假设T=1,即

另外还假设

(A5)u0∈C(M)。

本文研究Cauchy问题(1)的长时间渐近解的表达式。如果存在连续函数v(x,t)=φ(x,t)-λt,使得

在M上一致成立,则v(x,t)称为方程的渐近解。这里λ∈R,u(x,t)是Cauchy问题(1)的解,φ(x,t)是方程ut+H(t,x,Du)=0关于t以1为周期的解。

对于自治Hamilton-Jacobi方程解的长时间渐近性态问题,Namah和Roquejoffre在文献[1]中运用了PDE方法,Fathi在文献[2]中运用了动力学方法,他们分别得到了关于解收敛的充分条件。而对于时间周期Hamilton-Jacobi方程的研究相对较少,Bernard和Roquejoffre在文献[3]及Roquejoffre在文献[4]给出了时间周期Hamilton-Jacobi方程解收敛到周期解即(2)式成立的充分条件,但其周期渐近解目前还没有相应的表达式。本文借鉴Ishii[5]和Mitake[6]关于自治Hamilton-Jacobi方程的研究方法,通过定义时间周期Hamilton-Jacobi方程的Aubry集,给出了2个周期渐近解的表达式。

文中提到的方程的解均为粘性解,关于粘性解的基本知识可参见文献[7-8]。

在假设(A1)-(A5)下,Cauchy问题(1)的粘性解是存在且唯一的。

1 预备知识

本文需要用到以下几个引理。

引理1[4]存在唯一的λ∈R,使得方程

ut+H(t,x,Du)+λ=0,x∈M

存在周期解。

由此可以唯一确定周期传播波的速度λ,从而能通过以H-λ代替Hamilton算子H而假设λ=0,这样本文只需讨论方程

用AC([0,t];M)表示所有绝对连续函数γ:[0,t]→M的全体,则由文献[4]可知,方程(3)的解可以表示为

引理2 设w(x,t)∈C(M×[0,∞)),wt+H(t,x, Dw)≤0。令a,b∈R且0≤a

证明 由文献[7]可知φ(x,t)是方程(3)的粘性上解。又由Barron和Jenson[9]得到φ(x,t)同样是方程(3)的粘性下解,因此φ(x,t)是方程的粘性解。

这个引理说明方程(3)的周期解是存在的。文献[3-4]证明了φ(x,t)即为周期渐近解,本文后面将给出φ(x,t)的2个表达式。

下面是Cauchy问题(1)的一个比较定理。

引理4[7-8]设Ω是M中的开子集,假设u∈USC(¯Ω× [0,T))和v∈LSC(¯Ω×[0,T))分别是方程ut+H(t, x,Du)=0在Ω×[0,∞)上的下解和上解。若在(¯Ω× {0})∪(∂Ω×[0,T))上满足u≤v,则在¯Ω×[0,T)上有u≤v成立。

这里USC(Ω×[0,T))和LSC(Ω×[0,T))分别表示Ω×[0,T)上的上半连续和下半连续函数。

2 定理及其证明

下面给出周期Hamilton-Jacobi方程投影Aubry集的定义。

定义1 AH˜:={y∈M|d˜H(·,y)是H˜(x,Du)=0在M上的粘性解}。

由文献[10]可知,AH˜是M中的非空闭子集。首先证明A˜H上的比较原理。

命题1 假设u,v∈C(M×[0,∞))分别是方程ut+ H(t,x,Du)=0在M×[0,∞)上的下解和上解。对任意T>0,如果在A˜H×[0,t)上有u≤v,则在M×[0, T)上也有u≤v。

证明 假设存在(x0,t0)∈(MAH˜)×[0,T),使得在(x0,t0)处满足u>v。令ε0=(u-v)(x0,t0)。选出A˜H的1个紧邻域V,使得(x0,t0)∈(MV)×[0,T)且对所有的(x,t)∈V×[0,T),u(x,t)-≤v(x,t)。由文献[10]中Aubry集的性质,存在函数ψ∈C(M)和常数δ>0,使得在(MV)×[0,T)上有H(t,x,Dψ(x))≤-δ,且H(t,x,Dψ(x))≤0在M×[0,T)上几乎处处成立。

的w∈C(M×[0,∞))的集合。由引理3方程周期解的存在性,E-(u0)和E(ψ-(x,0))非空,且由文献[5]可知w在M×[0,∞)上是有界的,于是ψ-和ψ∞的定义是合理的。

定理2 对所有的(x,t)∈M×[0,∞),ψ-(x,t)=

由粘性解的理论有u0-(x,t)∈E-(u0),因此得到u0-(x,t)≤ψ-(x,t)对所有的(x,t)∈M×[0,∞)成立。任给v∈E-(u0),γ∈AC([0,t];M),γ(t)=x,则由引理2,有

任给ε>0,则存在vε∈E(ψ-(x,0))使得在M× [0,∞)上ψ∞(x,t)+ε>vε(x,t)。由引理4,在M×[0,∞)上有vε(x,t)≥ψ-(x,t)。由ε的任意性,ψ∞(x,t)≥ψ-(x,t)。因此对(x,t)∈M×[0,∞),n∈N有ψ∞(x,t)=ψ∞(x,t+n)≥ψ-(x,t+n)=u0-(x,t+n)。令n→∞,得到ψ∞(x,t)≥φ(x,t)。于是在M×[0,∞)上,ψ∞(x,t)=φ(x,t)。

[1] Namah G,Roquejoffre J M.Remarks on the long time behaviour of the solutions of Hamilton-Jacobi equations[J].Comm Partial Differential Equations,1999,24(5-6):883-893.

[2] Fathi A.Sur la convergence du semi-groupe de Lax-Oleinik[J].C R Acad Sci Paris Sér I Math,1998,327(3):267-270.

[3] Bernard P,Roquejoffre J M.Convergence to time-periodic solutions in time periodic Hamilton-Jacobi equations on the circle[J]. Comm Partial Differential Equations,2004,29(3-4):457-469.

[4] Roquejoffre J M.Convergence to steady states or periodic solutions in a class of Hamilton-Jacobi equations[J].J Math Pures Appl,2001,80(1):85-104.

[5] Ishii H.Asymptotic solutions for large time of Hamilton-Jacobi equations in Euclideannspace[J].Ann Inst H PoincaréAnal Non Linéaire,2008,25(2):231-266.

[6] Mitake H.Large time behavior of solutions of the Cauchy-Dirichletproblem for Hamilton-Jacobi equations with periodic boundary data [J].Nonlinear Analysis,2009,71(11):5392-5405.

[7] Barles G.Solutions de viscosit des quations de Hamilton-Jacobi [M].Paris:Springer-Verlag,1994.

[8] Lions P L.Generalized solutions of Hamilton-Jacobi equations[M]. London:Pitman,1982.

[9] Barron E N,Jensen R.Semicontinuous viscosity solutions for Hamilton-Jacobi equations with convex Hamiltonians[J].Comm Partial Differential Equations,1990,15(12):1713-1742.

[10] Fathi A,Siconolfi A.PDE aspects of Aubry-Mather theory for quasiconvex Hamiltonians[J].Calc Var Partial Differential E-quations,2005,22(2):185-228.

Abstract: This paper studies the asymptotic solutions of time periodic Hamilton-Jacobi equations.Two representation formulas for the time periodic asymptotic solutions are obtained through Aubry set of time periodic cases.

Key words: representation formulas;Hamilton-Jacobi equations;asymptotic solutions;Aubry set

AMS Subject Classifications: 35C99,35F25

责任编辑 朱宝象

Representation Formulas for the Asymptotic Solutions of Time Periodic Hamilton-Jacobi Equations

WANG Chao,PIAO Da-Xiong
(School of Mathematical Science,Ocean University of China,Qingdao 266100,China)

O175.29

A

1672-5174(2010)09Ⅱ-239-04

2010-01-03;

2010-04-28

王超(1985-),男,硕士生。E-mail:wangchaomath@126.com