二阶离散边值问题的多重解

覃 舟,刘进生

(太原理工大学 理学院,太原 030024)

非线性差分方程来源于科学研究的多个领域,尤其在计算数学、控制论、动力系统及经济学等方面受到了广泛的关注。因此,许多学者利用非线性泛函分析的方法研究了非线性离散边值问题解的存在性与多重性。

蔡晓春、周梦在文献[1]中研究了二阶离散边值问题

解的多重性。他们运用临界点理论中著名的山路引理,在一定的假设条件下证明了问题(1)至少有两个解。

本文也研究问题(1)的多解性,我们利用一个临界点存在性定理,结合上下解方法,最终证明了该问题至少有四个解。

全文假设R1和Z分别为实数集和整数集,对任意a,b∈Z,a＜b,记[a,b]∶={a,a+1,…,b}。Δ是向前差分算子,即

δ＞0,(-1)δ=-1,A0,B0为常数。{p n},{qn}是两个实数列,对任意的(n,z)∈Z×R1,f：Z×R1→R1关于第二个变量连续。

1 预备知识

记H=Rk,则H是k维Hilbert空间。H 上的内积为由它诱导的范数为

在 H上,对∀r＞1,我们也使用范数

因为H是有限维Hilbert空间,所以范数是等价的,于是,当 δ＞0,β＞1时,分别存在正常数c0,c和d 0,d,使得

在H中定义锥

易知P是一个正规体锥。其内部为

并且在H中定义半序关系为u≤v⇔v-u∈P,同时记u＜v⇔u≤v且u≠v;u≪v⇔v-u∈P˚.

设算子B：H→H,如果对∀u,v∈H,u≤v蕴涵Bu≤Bv,则称B为增算子。

对于问题(1),若存在v∈H使得

则称v是问题(1)的一个上解;而当其反向的不等式成立时,称v是问题(1)的一个下解。

在H上定义泛函

从而J的临界点等价于问题(1)的解。易知

其中

因此,若记

则算子B ：H →H,并且J′(u)=u-Bu.

下列引理是本文主要结果的理论依据。

引理[2]设 H 是 Hilbert空间,f：H →R1是C1泛函,满足 P.S.条件 ,f′(u)可以表为 f′(u)=u-Bu的形式。设D1和D2是H中的开凸集,满足条件

如果存在一条道路h：[0,1]→H,使得……