有限群的可补置换子群与 p-幂零性

晁 芳, 郭秀云

(上海大学 理学院,上海 200444)

有限群的可补置换子群与 p-幂零性

晁 芳, 郭秀云

(上海大学 理学院,上海 200444)

有限群 G的子群 H称为 G的 SS-拟正规子群,如果存在 G的子群 B,使得 G=HB且对 B的每个 Sylow子群 Q,都有 HQ=QH.利用幂指数等于 Sylow p-子群幂指数的交换 p-子群的 SS-拟正规性,来研究有限群的 p-幂零性,推广和改进了一些已有的结果.

有限群;SS-拟正规子群;p-幂零群

Abstract:A subgroup H of a finite group G is said to be SS-quasinormal in G if there existsa subgroup B of G such that G=HB and H permutesw ith every Sylow subgroup of B.In thispaper,some conditions for a finite group to be p-nilpotent are given using SS-quasinormality of some abelian subgroup sw ith p rime power order,and several known results are generalized and improved.

Key words:finite group;SS-quasinormal subgroups;p-nilpotent groups

本研究所涉及的群均为有限群,采用标准记号.利用子群的某些性质来研究群的结构是许多群论学者感兴趣的课题.群 G的一个子群 H称为 G的 S-拟正规子群,如果对 G的每个 Sylow子群 Q,都有 HQ=QH.自 1962年 Kegel[1]引入这一概念以来,许多研究人员应用这一概念研究有限群的结构[2-6].为进一步拓广这方面的研究,Li等[7]又引进一个新的概念——SS-拟正规子群,即群 G的子群 H称为 G的SS-拟正规子群,如果存在 G的子群 B,使得 G=HB且对 B的每个 Sylow子群 Q,都有 HQ=QH.Li等[7-8]运用 Sylow子群的极大与极小子群的 SS-拟正规性研究有限群的结构,获得许多有意义的结果.本工作主要研究素数幂阶子群的 SS-拟正规子群对有限群结构的影响,其中着重考虑与 Sylow子群的幂指数相同的交换子群的 SS-拟正规性.

1 预备知识

为引用方便,本节给出 SS-拟正规子群的一些基本性质和重要引理.

引理 1[7]设 K为群 G的一个子群,N为群 G的一个正规子群,H为群 G的一个 SS-拟正规子群,那么

(1)如果 H≤K,则 H为 K的 SS-拟正规子群;

(2)HN/N为 G/N的 SS-拟正规子群;

(3)如果 N≤K且 K/N是 G/N的 SS-拟正规子群,则 K为 G的 SS-拟正规子群.

引理 2[7]设 P为群 G的一个 p-子群,则下列条件等价:

(1)P为 G的 S-拟正规子群;

(2)P≤F(G)且 P为 G的 SS-拟正规子群.

引理 3[7]设 P为群 G的一个 p-子群且 P为群G的 SS-拟正规子群,则对 G的每个 Sylow q-子群Q(q≠p),都有 PQ=QP.

引理 4[9]设 H为群 G的一个 p-子群且 H为 G的 S-拟正规子群,则 Op(G)≤NG(H).

引理 5[10](Burnside定理)设 p为群 G的阶的最小素因子,P为群 G的一个 Sylow p-子群且 P为循环群,则 G有正规 p-补.

2 主要结果

首先考虑 p为群 G的阶的最小素因子的情况.

定理 1 设 p为群 G的阶的最小素因子,P为群G的一个 Sylow p-子群且 exp P=pe(e≥1).若F={H|H≤P,H′=1,exp H=pe}中的每一元都是 G的SS-拟正规子群,则 G为 p-幂零群.

证明 假设定理不真,G是一个极小阶反例.

显然 T′≤Op′(G). 又 T为 p-群 ,从而 T′=1.注意到exp T =exp T=pe,即 T∈F.由定理假设条件可知,T为 G的 SS-拟正规子群.再由引理 1知,T为 G的SS-拟正规子群.G的选择隐含着 G/Op′(G)为 p-幂零群,从而 G为 p-幂零群,矛盾.

(2)任取 F中的一元 H,则 Op(G)≤CG(H).

令 Q为 G的任意 Sylow q-子群 (q≠p).由定理假设条件可知,H为 G的 SS-拟正规子群.由引理 3得 HQ=QH,即 HQ为群 G的一个子群.又 H为交换p-子群,则 H可由 H中最高阶元素生成,设 H=〈a1,a2,…,as〉,其中 o(ai)=pe,i=1,2,…,s.由假设及引理 3知 ,〈ai〉Q=Q〈ai〉. 由引理 5可得 ,〈ai〉Q=

显然 L◁—G且 L∩Q◁—L.注意到 L∩Q≤Op′(L)≤Op′(G)=1,故 L为 p-群.另一方面 ,显然有 H≤L,从而 H≤L≤Op(G).H为 G的 S-拟正规子群,故 H次正规于 HQ,从而 HQ=H ×Q,故Op(G)≤CG(H).

(3)最后的矛盾.

取 F中阶最大的一元 H,由 (2)可得,Op(G)≤CG(H).

假设 CG(H)≠G,由于 P1=P∩CG(H)为CG(H)的 Sylow p-子群且 exp P1=pe,令

由假设及引理 1知,F2中每一元都是 CG(H)的SS-拟正规子群,所以 CG(H)满足定理假设,G的选择隐含着 CG(H)为 p-幂零群,从而 Op(G)为 p-幂零群,由此即得 G为 p-幂零群,矛盾.

假设 CG(H)=G,这时 H≤Z(G),由 H的选择隐含着 P≤Z(G),故 NG(P)=CG(P).由引理 5知G为 p-幂零群,矛盾.

由定理 1,有如下推论.

推论 1 设 G为一个群,π(G)={p1,p2,…,pn},其中 p1>p2>… >pn.Pi为群 G的一个 Sylow pi-子群且 exp Pi=pei,i=2,3,…,n.若 Fi={H|H≤Pi,H′=1,exp H=(pi)ei}(i=2,3,…,n)中每一元都是 G的 SS-拟正规子群,则 G为 Sylow塔群.

证明 由定理 1知 G为 pn-幂零群.设 K为 Pn在群 G中的正规 pn-补.由归纳法知 K为 Sylow塔群,因此,G为 Sylow塔群.

推论 2 设 p为群 G的阶的最小素因子,N◁—G,P为群 N的一个 Sylow p-子群且 exp P=pe(e≥1),G/N为 p-幂零群.若 F={H|H≤P,H′=1,exp H=pe}中每一元都是 G的 SS-拟正规子群,则 G为 p-幂零群.

证明 假设定理不真,G是一个极小阶反例.由定理 1知 N为 p-幂零群,从而由定义可知,N存在正规 p-补子群 K.假设 K≠1,考虑G=G/K,则P=PK/K为G的 Sylow p-子群且 exp P=pe.G/K/N/K≅G/N为 p-幂零群.令

任取 F1中一个元T,则存在 T≤P,使T=TK/K.由于

显然 T′≤K.又 T为 p-群,从而 T′=1.注意到 exp T=exp T=pe,即 T∈F.由定理假设条件可知,T为 G的SS-拟正规子群.再由引理 1可知,T 为G的 SS-拟正规子群.G的选择隐含着 G/K为 p-幂零群,从而 G为 p-幂零群,矛盾.

若 K=1,此时 P=N,即 N为 p-群.若 N为 G的Sylow p-子群,根据定理 1可知,G为 p-幂零群,矛盾.若 N不为 G的 Sylow p-子群,设 M/N为 G/N的正规 p-补.由归纳假设,M为 p-幂零群.令 M1为 M的正规 p-补,从而M1也为 G的正规 p-补 ,即 G为 p-幂零群,矛盾.

下面考虑另一种情况,设 P为 p-群,记

其中

定理 2 设 p为群 G的阶的最小素因子,P为群G的一个 Sylow p-子群,且 expΩ(P)=pe(e≥1).若F={H|H≤Ω(P),H′=1,exp H=pe}中每一元都是G的 SS-拟正规子群,则 G为 p-幂零群.

证明 假设定理不真,G是一个极小阶反例

(2)任取 F中一元 H,有 Op(G)≤NG(H).

令 Q为 G的任意 Sylow q-子群 (q≠p).由定理假设 H为 G的 SS-拟正规子群,根据引理 3可得HQ=QH,从而 HQ为群 G的子群.

又 H为交换 p-子群,则 H可由 H中最高阶元素生成,设 H=〈a1,a2,…,as〉,其中 o(ai)=pe,i=1,2,…,s.由假设及引理 3知 ,〈ai〉Q=Q〈ai〉. 再根据引理 5,〈ai〉Q=〈ai〉|×Q,进一步有 HQ=H|×Q.令

显然 L◁—G且 L∩Q◁—L.注意到 L∩Q≤Op′(L)≤Op′(G)=1,知 L为 p-群.另一方面显然有 H≤L,从而 H≤L≤Op(G).根据引理 2知,H为 G的 S-拟正规子群,Op(G)≤NG(H).

(3)最后的矛盾.

由 (2)知,Op(G)≤NG(H),有 HOp(G)≤NG(H)≤G.

(i)首先考虑 HOp(G)≤NG(H)

令 P1=P∩HOp(G),P1为 HOp(G)的一个 Sylow p-子群.从而 P1≤P∩HOp(G)≤P,expΩ(P1)=pe.下面考虑

F2={H1|H1≤Ω(P1),H′1=1,exp H1=pe},任取 F2中一元 T,显然 T∈F,从而 T为 G的 SS-拟正规子群.利用引理 1可得,T为 HOp(G)的 SS-拟正规子群.由归纳法可知,HOp(G)满足定理假设,因此HOp(G)为 p-幂零群.令 K为 HOp(G)的正规 Hall p′-子群 ,则 K也为 Op(G)的正规 Hall p′-子群.

因为 K为 Op(G)的特征子群,所以 K◁—G.显然G/Op(G)为 p-群 ,从而 K为 G的正规 Hall p′-子群 ,于是 G为 p-幂零群,矛盾.

(ii)其次考虑 NG(H)=G.

假设 G不是 p-幂零群,由 Frobenius定理知,存在 G的一个非平凡 p-子群 L,使得 NG(L)/CG(L)不为 p-群.由 Sylow定理,可以假设 L≤P且 r为群 NG(L)的阶的任意一个素因子 (r≠p).考虑群 NG(L)的任一 Sylow r-子群 R,显然 R正规化 L.又Ω(L)为L的特征子群,从而 Ω(L)◁—NG(L),故Ω(L)R为NG(L)的子群,进一步可知,HΩ(L)R为群 G的子群.由定理 1知,HΩ(L)R有正规 p-补,从而Ω(L)R有正规 p-补.

因为Ω(L)R有正规 p-补 R,且 R正规化Ω(L),所以Ω(L)R=Ω(L)×R.根据文献 [10]第Ⅶ章的定理 4.3,R中心化 L,因此,对于群 NG(L)的阶的任意素因子 r(r≠p),群 NG(L)的每一个 Sylow r-子群都中心化 L,于是 NG(L)/CG(L)为 p-群,G为 p-幂零群,矛盾.

由定理 2,有如下推论.

推论 3 设 G为一个群且π(G)={p1,p2,…,pn},其中 p1>p2>…>pn.又设 Pi为群 G的一个Sylow pi-子群且 expΩ(Pi)=(pi)ei,i=2,3,…,n.若 Fi={H|H≤Ω(Pi),H′=1,exp H=(pi)ei}(i=2,3,…,n)中每一元都是 G的 SS-拟正规子群,则 G为Sylow塔群.

证明 设 K为 Pn在群 G中的正规 pn-补,由归纳法可知,K为 Sylow塔群,因此 G也为 Sylow塔群.

推论 4 设 p为群 G的阶的最小素因子,N◁—G,P为群 N的一个 Sylow p-子群,且 expΩ(P)=pe(e≥1),G/N为 p-幂零群.若 F={H|H≤Ω(P),H′=1,exp H=pe}中每一元都是 G的 SS-拟正规子群 ,则 G为 p-幂零群.

证明 类似推论 3可证.

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[10] 徐明曜.有限群导引[M].北京:科学出版社,2001.

(编辑:孟庆勋)

SS-quasinormality of Subgroupsand the p-n ilpotency of Fin ite Groups

CHAO Fang, GUO Xiu-yun
(College of Sciences,ShanghaiUniversity,Shanghai200444,China)

O 152.1

A

1007-2861(2010)04-0376-04

10.3969/j.issn.1007-2861.2010.04.009

2009-06-03

国家自然科学基金资助项目(10771132);高等学校博士点基金资助项目 (200802800011);上海大学研究生创新基金资助项目(SHUCX092004)

郭秀云 (1956～),男,教授,博士生导师,博士,研究方向为有限群.E-mail:xyguo@shu.edu.cn