一维紧邻时间随机环境下可逗留随机游动的有关性质

宋明珠

(铜陵学院教务处,安徽铜陵 244000)

一维紧邻时间随机环境下可逗留随机游动的有关性质

宋明珠

(铜陵学院教务处,安徽铜陵 244000)

给出了可数状态空间中时间随机环境下可逗留随机游动的一个统一模型,对于一维紧邻时间随机环境下的随机游动,在一定的条件下,讨论它的极限性质和中心极限定理,该结论类似于空间随机环境下的随机游动的有关结论.

时间随机环境;随机游动;极限定理;中心极限定理

1 引言与定义

自从Solomem[1]最早引入一维独立空间随机环境下随机游动的概念以来,该理论一直是人们热点研究的问题.Kalicow[2]给出了该随机游动在d维,一般环境下的统一模型,并得到了其常返暂留准则.近年来出现了一大批有关该模型下的随机游动的各种极限理论,Zetouni[3]参考前人的结果,整理成一套完整的体系,其内容包括常返暂留准则、强大数定律、中心极限定理、大偏差原理等.在该理论完善的同时,Cogburn[4]和Orey[5]等人发展了另一类随机环境下的马氏链的理论,与Zetouni[3]中空间随机环境不同的是,他们讨论的是时间随机环境.本文在前人的基础上给出了一维紧邻时间随机环境下随机游动(简称时间RWIRE)的统一模型,并在一定条件下,给出其相关性质.

时间RWIRE的定义主要包括两个方面的内容：首先是环境,它是随着时间的推移而得到的一列随机变量,但不随空间位置的变化而变化;其次是在给定的环境下随机游动的转移概率由环境决定的非齐次马氏链.现在考虑其统一的模型.对任何正整数i∈,令Ui表示X上支撑为V的概率全体,其中X为可数空间,V⊂X.称Ui中任一元素为时刻i的转移律,它指的是一个函数ρi:X→[0,1]且满足

(a)ρi(x)≥0,∀x∈V;

(b)ρi(x)=0,∀x∉V;

对任意的w∈Ω,定义在时间环境w下的随机游动Xn,n≥0是以X为状态空间,转移概率为下式决定的随机变量序列:

现令X=Z,Z为整数,V={-1,0,1},则由该X和V,按上述的定义可以得到一个时间随机游动,称此时间RWIRE为一维紧邻时间RWIRE,即对环境w={(αn,γn,βn),n≥0},有

在给定的环境下,Xn,n≥0为非齐次的马氏链,其转移概率依赖于最近的位置和环境,而环境只与时间有关.

以下恒设Xn,n≥0是一维紧邻的时间RWIRE.

2 极限性质的证明

令Tn=min{k≥0;Xk=n},τn=Tn-Tn-1,n≥1,T-n,τ-n定义类似.

引理1 若对几乎所有的环境,Xn,n≥0在此环境下某一性质成立,则一维紧邻时间RWIRE几乎必然具有此性质.

3 中心极限定理的证明

引理5[8]设环境ω关于P是独立同分布的,

[1] Solomon F.Random walks in random enviroment[J].Ann.Prob.,1975,3(1)：1-31.

[2] Kalikow S.A generalized random walks in random environments[J].Ann.prob.,1981,9：735-768.

[3] Zetonui O.Lecture notes on RWRE[DB].2001,available at http：www.wee.technion.ac.il/aeitouni/ps/notesl.ps.

[4] Cogburn R.The ergodic tehory of Markov chains in random environments[J].Z.Wahrsch.Verw.Gebiete.,1984, 66(2)：109-128.

[5] Orey S.Markov chains with stochastically transtion probabilities[J].Ann.prob.1991,19(3)：907-928.

[6] 张晓敏,等.时间随机环境下的随机游动的渐进行为[J].应用数学,2004,17(2)：295-300.

[7] Stone C J.The growth of a random walk[J].Ann.Math.Statist.,1969,40：2203-2206.

[8] 吴文忠.随机环境中一维紧邻随机游动的极限性质[D].安徽师范大学,2005.

Some Properties for One-dimensional Nearest-neighbor Random Walks in Time-Random Environments

SON G Ming-zhu
(Educational Administration Office of Tongling University,Tongling,Anhui 244000,China)

A general model of random walk in time-random environments in any denumerable space is given in this paper,in the case of one-dimensional nearest-neighbor random walk,we derive limit theorem and acenter limit theorem of this random walk under some conditions,which are similar to the corresponding results in the case of classical random walk.

time-random environments;random walks;limit theorem;center limit theorem

O211.62

A

1672-1454(2010)03-0084-04

2007-09-04;[修改日期]2008-02-29

铜陵学院院级科研项目(2009tlxy23)