一个重要不等式的简证与求商法的应用

● (陇南师范高等专科学校数学系 甘肃成县 742500)

一个重要不等式的简证与求商法的应用

●东洪平(陇南师范高等专科学校数学系 甘肃成县 742500)

1 问题的提出及其证明

文献[1]提出了一个重要不等式：

文献[1]用数学归纳法证明了这个不等式，笔者发现可用求商法证明这个不等式，其证明过程更简单易懂，现证明如下.

证明求商.

即

因此

2 求商法及其应用

当一个不等式(或等式)的2边是积的形式时，可用求商的方法去证明其成立，这是数学中最常用的方法——求商法.用求商法去证明上面的重要不等式,其证明过程简单、易懂.数学竞赛中有几个不等式是上面重要不等式的特殊情形，如果不知道上面的重要不等式，这样的不等式该怎样证明呢？那还是用求商法最好！请看下例.

(第3届美国数学奥林匹克试题)

(显然,这是上面重要不等式当n=3时的特殊情形.)

证明(用求商法)

即

(1979年青海省中学数学竞赛试题)

(显然,这是上面重要不等式当n=5时的特殊情形.)

证明(用求商法)

同理可得

即

下面再举2个用求商法证明不等式的例子.

例3若a>b>c>0，求证：a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b.

(1978年上海市数学竞赛第二试试题)

证明(用求商法)

即

证明(用求商法)

当我们在证明一个数学命题时，首先想到的是最常用的方法.如果能用最常用的方法证明这个数学命题，而且证明过程简单易懂，那么这样的证明方法就可称得上是好方法.因此，我们千万不能把最常用的方法忘掉！

[1] 赵生筱.一个平均值不等式[J].数学通报，2002(7):21-22.