知识点集及其偏序特性的研究

毕保祥 ，龚平娟，柳幼松

(1.温州大学 瓯江学院信息系，浙江 温州 325035；2.温州大学 数学与信息学院，浙江 温州 325035)

知识点集及其偏序特性的研究

毕保祥1，龚平娟2，柳幼松1

(1.温州大学 瓯江学院信息系，浙江 温州 325035；2.温州大学 数学与信息学院，浙江 温州 325035)

从知识点的概念、划分方法及其特性出发，运用偏序理论对高校计算机专业部分课程知识点集的偏序特性进行分析，研究表明C语言高级程序设计与数据结构两个知识点集和它们的并集都属于偏序集；并依据前驱和后继知识点、知识点间的直接依赖及知识点链阐述了研究知识点集偏序性的现实意义.

知识点集；偏序性；知识点链

人们的知识是由许许多多知识点构成的. 文中所述的知识点(Knowledge Point)是指人们在获取新知识或从事其它智力活动的过程中发挥帮助作用的概念、定义、术语、句子、原理、定理和方式方法等. 知识点并不是孤立存在的，在一定的范围内，知识点之间相互关联，它在人们已有的知识结构中或者在获取新知识的过程中发挥着不同的作用. 这种作用或大或小，或重或轻，或主或次. 每个知识点一般都具有若干属性，如知识点的类型、范围和重要程度等，以概括该知识点的特性，确立其在相关知识点集中的地位. 本文主要以大学生专业知识点为讨论对象，首先探讨知识点的划分和知识点的特性，再给出与偏序关系相关的定义，然后以计算机专业《C语言高级程序设计》与《数据结构》(C语言版)课程中知识点集为例，展示知识点之间所存在的偏序关系及其特性，并阐述研究的实际意义.

1 知识点的划分及其特性

1.1 知识点的划分方法

根据研究和应用的情况可以采用不同的方法来划分知识点. 这里总结出三种知识点的划分方法，即层次法、平行法和混合法[1-2].

1)层次划分法 在进行知识归纳总结和试题库建设时常用的一种划分方法，是根据章、节和小标题确定知识点，其中章、节和小标题都是知识点. 这种划分方法使得知识点之间存在包含关系，即每个章知识点可以包含若干个节知识点，每个节知识点可以包含若干个段知识点，同样每个段知识点还可以包含若干个更小的知识点，如有必要还可以进一步地划分. 知识点之间的关系表现为树型结构，树中叶子结点是最小的知识点. 2)平行划分法 不以知识点所属的章、节和小标题为依据，即不关注知识点之间是否存在包含关系，而是重点关注知识点的自身属性和作用，划分后每个知识点的地位都是平等的. 这种划分方法使得知识点成为相关知识结构中最基本的单位. 3)混合法 综合上述两种方法对知识点进行划分，如按章和节进行层次划分，而节以下的知识点则不再分层，采用平行划分法. 本文使用平行划分法.

1.2 知识点的特性

按照平行划分法，知识点主要具有如下几个特性：

1)原子性 当采用平行划分法对知识点进行划分之后，认为它是不可再分的最基本的知识点单位. 知识点的这种原子特性表明了知识点是构成某种知识系统的最基本单位. 人们学习并掌握某种知识就是要学习和掌握其一系列知识点. 知识点的原子性也是研究一定范围内知识点之间相互关联的基础. 2)前驱性 一般来说，每个知识点都可作为其他相关知识点的前导，表明只有掌握好本知识点，才能更好地学习和掌握相关的后续知识点. 3)后继性(或称后续性) 与前驱性相对，每个知识点的掌握都建立在其他已掌握的知识点基础之上，即以其他知识点为前驱. 虽然在某一特定范围内有些知识点不存在后续知识点，但是这些知识点总会在后来的学习和创新中直接或间接地运用到. 这种后继性也说明了对知识学习是无止尽的. 前驱性和后继性表明知识点之间不是独立存在的，而是相互关联的，这种关联具有方向性，表明知识的学习应该按先后顺序进行，要循序渐进. 4)类属性 任何一个知识点都会属于某一类型的知识，如概念型、定义型和定理型等. 研究其类属性有助于对相同类型知识点的理解和掌握，也便于掌握相同类型知识点的学习方法. 5)局部强关联性 任何一个知识点都属于某一知识范围，而且在这一范围内相互关联的程度比较强. 例如高校中开设的每一门课程都是一个知识范围，其内部知识点之间的关联程度要强于它们与其他课程中知识点的关联程度；再如大学专业，各专业内部的知识点之间的关联程度要强于它们与其他专业知识点的关联程度. 知识点的这种局部强关联性表明专业知识是由本专业内一系列相互关联的知识点聚集构成，有机地构建了本专业的知识系统.

2 偏序关系的理论基础

先引出偏序理论中一些相关定义和性质[3-4].

定义1 设R是非空有限论域U上的一个二元关系，其中R⊆U×U，如果R满足自反性、反对称性和传递性，那么称R为偏序关系，记为≤, (U，≤)称为偏序集. 对∀x,y∈U，x≤y, 且x≠y，若不存在其他元素z∈U，使x≤z和z≤y，则称元素y盖住x，或称y是x的直接后继(反过来称x是y的直接前驱)，并记COVU={|x,y∈U, y盖住x}.

定义2 设(U，≤)为一个偏序集，对于确定的x∈U，称[x]s={y| y∈U，y≤x}为(U，≤)上的一个偏序类. 称[x]c={y| y∈U，x盖住y }为(U，≤)上的一个直接偏序类.

定义3 设(U，≤)为一个偏序集，A⊆U是U的一个子集，对于a∈U，若∀x∈A，有a≤x，则称a为A的一个下界. A的下界可能有多个，若A的下界集合中存在一个最大元素，则称该元素为A的下确界.同样有A的上界和上确界的定义.

定义4 设(U，≤)为一个偏序集，A⊆U是U的一个子集，对于a∈A，若不存在x∈A，且x≠a,使x≤a，则称a为A的一个极小元. 同理可得到A的极大元的定义.

定义5 设(U，≤)为一个偏序集，A⊆U是U的一个子集，若∀x∈A和∀y∈A，有x≤y或y≤x，则称A为链. 设另有一个链B⊆U，若A∩B=Φ，则称A和B为两条平行链，否则称A与B为两条相交链，称A∩B中的点为交点.

“我也可以进便宜的肥料，多一些利润，但是我就是没把利润看得太重。我只是一心为农民服务，一心为我们县的老百姓服务。”吉林省乾安县的70岁老太太翟桂芝面对记者的采访时，紧张的神情下透漏出些许年轻人的羞涩，但是说起自己做农资的经历却是滔滔不绝。

从几何的直观上看，链A中的元素可以按照a1，a2，…，an顺序的排列在一条直线上.

定义6 设(U，≤)为一个偏序集，A⊆U是U的一个链，则称A的最小元素为链A的源点，称A的最大元素为链A的目标点. 设A={a1，a2，…，an}，且a1≤a2≤…≤an,则称从源点a1经过a2，…，最后到达目标点an为一条从源点到目标点的路径，且路径长度为n-1.

3 偏序模型下知识点集的特性及含义

根据上述偏序理论，文中以计算机专业的程序设计语言课程和数据结构课程的部分知识点集为例，探讨知识点集的偏序特性，如表1所示. 这里U1和U2分别表示C语言程序设计课程和数据结构(C语言版)课程的部分知识点集.

表1 C语言程序设计和数据结构部分知识点及其直接前驱知识点

续表1

设R1表示U1中知识点之间关系的集合，则具体表示如下：

U1={k14,k15,k19,k21,k22,k23,k24,k26,k28,k29,k30,k31,k32,k33,k35,k36,k37,k40,k41,k42,k43},

R1={,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,}，对应关系图如图1所示. 现约定对R1进行扩展，向R1中增加一些关系元素：1)所有的∈R1；2)若和∈R1，则∈R1，并约定对R1进行扩展后仍然沿用R1. 从知识点的依赖关系上解释，这两个扩展约定是具有实际意义的，并不矛盾. 从而可以证明，R1是U1上的一个偏序关系. 同理，设R2表示U2中知识点之间关系的集合，则结论与R1相同，在此省略.

3.1 知识点链

知识点偏序集中存在若干条知识点链，每个知识点都属于某个(些)知识点链.图1是U1在没有对R1进行扩展约定前提下的自然依赖关系图. 从图1中可知，存在多条知识点链，如{k22,k37}、{k14,k23,k24,k30,k31}和{k19,k42,k43}等. 知识点链表明知识点的学习先后顺序不同，如欲学习k37必先学习k22、学习k31必先学习k30、学习k30必先学习k24，……，依此按链路逆向推理；对于处在平行链上的知识点，其学习路径不同，在学习时间的安排上可不必考虑其学习时间的先后顺序，如{k14,k23,k24,k30,k31}和{k19,k42,k43}是两条并行链，对于知识点k24和k42，彼此没有学习时间上先后顺序的关系；对于处在相交链上的交点，必须等待以该交点为目标点的链上所有知识点(即其前驱知识点)的学习完成之后才能开始学习，因此为了尽快学习交点知识点，必须尽早安排链上其前驱知识点的学习，如{k19,k21,k22,k24,k33}和{k26,k32,k33}两条链交于k33，为尽快学习知识点k33，必须尽早安排学习知识点k19、k21、k22、k24、k26和k32. 显然在不考虑每个知识点学习时间长短的情况下，应该尽早安排路径长的链上知识点的学习[5].

在图1中存在同源同目标的多条知识点链，即源点和目标点都相同的链有多条，此时可以忽略那些长度为1的链，并不影响对此目标知识点的学习. 因为这n条链都属于相同的源和目标，并且存在长度大于1的其他链. 对于学习目标知识点而言，仅仅学习源知识点是不够的，必须学完目标点的其他所有前驱知识点才可，而这些前驱知识点中已经包含了源点. 例如，源点和目标点分别为k19和k36的链路有三条：{k19,k36}、{k19,k21,k35,k36}和{k19,k21,k22,k35,k36}，链{k19,k36}的长度为1，忽略此链并不影响对k36知识点的学习.

图1 R1的关系图

3.2 知识点之间的直接依赖

由偏序集覆盖的定义可知，COVU1即是所有知识点之间的直接依赖关系集的最小集，知识点之间的直接依赖关系，即直接前驱和直接后继的关系，表明在时间上学习这些知识点的直接前后关系. U1中任一知识点的偏序类都是以该知识点为目标点的所有链路上知识点的集合. 比如知识点 k36的偏序类[k36]s={k35,k22,k21,k19}，表明知识点k35、k22、k21和k19都是U1集合中学习知识点k36的预备知识点，即前驱知识点，|[k36]s|为4，是k36前驱知识点的个数，表示影响学习知识点k36的其他知识点数目.

U1中任一知识点的直接偏序类则是被该点盖住的所有知识点的集合，是该知识点直接前驱的最小集，是覆盖COVU1的子集. 如k36的偏序类[k36]c={k35}，表明知识点k35是学习知识点k36的不可缺少的直接前驱知识点，k35知识点学过之后即可学习知识点k36. 其实，从图1中可知，k36的直接前驱知识点为{k35,k19}，但是由前面讨论可知，k19并非k36的必要的直接前驱[6].

3.3 课程之间知识点集的偏序性

综合U1、R1和U2、R2，可知U1∩U2={k28,k30,k33,k36,k40,k41,k43}是C语言中的知识点，表明数据结构(C语言版)课程直接依赖C语言程序设计知识，在学习以C语言为算法描述工具的数据结构课程之前必须具备C语言程序设计知识. U1∪U2是这两门课程中部分知识点集合，R1∪R2则是U1∪U2中知识点之间关系的集合. 可以证明，按照上述扩展约定扩展R1∪R2后，它也是一个偏序关系，U1∪U2则是一个偏序集. 这表明两个互为直接前驱和直接后继的课程知识点集可以合并为一个更大的知识点偏序集.

4 结语

知识点是构建知识系统的基本单位. 知识点之间的偏序性表明在学习上存在先后顺序. 知识点偏序关系中存在许多条知识点链，每一条链都是一条知识点学习的路径. 本文中仅研究了课程内知识点集的某些偏序性问题，其实整个专业的知识点集也具有类似的偏序性，因此随后的研究内容还有很多，如知识点属性研究、关键知识点链的研究和核心知识点集的研究等. 关键知识点对学习其他知识起着重要的作用，对教师教学具有指导意义，抓住关键知识点，有的放矢，采用适当的教学方法；对于学生学习，掌握关键知识点，有助于理顺学习思路，取得事半功倍之效，因此寻找关键知识点将是今后研究内容. 此外，寻找专业的核心知识点集也将是今后研究的内容.

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[3] KENNETH H, ROSEN. Discrete Mathematics and Its Applications[M]. 北京: 机械工业出版社, 2003.

[4] 马振华. 现代应用数学手册[M]. 北京: 清华大学出版社. 2002: 39-44.

[5] 叶先一, 张福基. 偏序集上的一种拓扑排序[J]. 数学研究, 2005(4): 440-443.

[6] 曲开社, 翟岩慧. 偏序集、包含度及形式概念分析[J]. 计算机学报. 2006(2): 219-226.

Knowledge Point Set and Its Characteristics of Partial Order

BI Bao-xiang1, GONG Ping-juan2, LIU You-song1
(1. Department of Information Science & Technology, Oujiang University, Wenzhou University, Wenzhou 325035, China; 2. College of Mathematics & Information Science, Wenzhou University, Wenzhou 325035,China)

The concept, division method and characteristics of knowledge point are discussed in this paper. The characteristics of partial order about the part of knowledge point sets ,which are part of the two selected college curriculums, are researched on the theory of partial order, and the two knowledge point sets and their merger are proved a posets. By means of researching on precursor and successor of knowledge points, direct dependence on the relationship between knowledge points and knowledge chain, the practical meanings in researching the characteristics of partial order of knowledge point sets are elaborated.

Knowledge point set; Partial Order; Knowledge-point link

TP301

A

1009-2854(2010)08-0009-04

2010-07-28;

2010-08-15

毕保祥(1961― )，男，湖北襄樊人，温洲大学瓯江学院信息系副教授.

陈 丹）