双点后方交会在矿区测量中的应用

银光胜

(广西锡山矿业有限公司,广西南宁 530022)

0 前言

在山区或者矿山进行测量,经常会遇到控制点少,点又都在高山上,登山困难,无法进行测量引点的情况,给测量工作者带来困难。本文解决只有2个控制点(并且两个控制点人员都不能到达,点觇标可见)的测量引点方法——双点后方交会法。

《测量学》课本[1]上“双点后方交会法”没有直接的求解公式,由于公式复杂,计算困难,不利于野外作业,在实际应用中很少用到；文章对求解公式作了进一步的推演；结合 CASIOfx-4800p(或fx-4500p)计算器的特点,编制了程序计算法,解决了野外作业计算复杂的问题；使“双点后方交会法”在实际应用方便可行。

1 双点后方交会坐标求解公式推导

双点后方交会法,是一种直接在两个未知点上设置测站测设未知点坐标的交会法。它不同于前方交会法,也区别于3点后方交会法。双点后方交会的布设有两种形式,见图1。

图1中P1、P2为未知点,A、B为已知点,观测角为∠a1、∠b1、∠a2、∠b2；双点后方交会法的解算难点在于解算辅助角。解算辅助角设为 ∠r1、∠δ1、∠r2、∠δ2；为了使导出的公式适用于各种图形,对各角的符号注记作如下规定：P1点上的两个观测角以∠a1、∠b1表示；P2点上的两个观测角以∠a2、∠b2表示；各角注记一律顺时针向,∠a1=∠P2P1A；∠b1=∠BP1P2；∠a2= ∠AP2P1；∠b2=∠P1P2B；解 算 辅 助 角 ∠r1=∠P1AB、∠δ1=∠ABP1、∠r2=∠BAP2、∠δ2= ∠P2BA。

图1 双点后方交会示意

求解过程分为两步：

1) 求算辅助角 r1、δ1、r2、δ2

由图1(a)可见：

r1+δ1=180°-(a1+b1)

由正弦定理按两条路线求边 SP1P2为：

按配分比例,得：

即

(1)、(2)两式联立求解得：

r1=M+90°-(a1+b1)/2

δ1=90°-(a1+b1)/2-M

根据三角形可解得：

r2=180°-r1-a1-a2

δ2=180°-δ1-b1-b2

若 r2、δ2为负,亦即相当于图1(b)外角情况。

2)求算未知点P1、P2的坐标[2]

把已知A、B点坐标和解算出的辅助角r、δ代入前方交会公式,即得P1点坐标：

XP1=(xa·ctgδ1+xb·ctgr1-ya+yb)/(ctgr1+ctgδ1)

YP1=(ya·ctgδ1+yb·ctgr1+xa-xb)/(ctgr1+ctgδ1)

求P2点坐标时,注意前方交会公式的逆向性,A、B点互换,辅助角r、δ也互换,可得 P2点坐标：XP2=(xb·ctgr2+xa·ctgδ2-yb+ya)/(ctgr2+ctgδ2)YP2=(yb·ctgr2+ya·ctgδ2+xb-xa)/(ctgr2+ctgδ2)

2 程序编制

从以上公式推导可以看出：双点后方交会测量法,施测容易；但是计算公式多,计算复杂,不适宜野外作业、计算[3]。因此,在推导的基础上,结合CASIO fx—4800p的程序命令,编制出适合于双点后方交会坐标计算的程序。

该程序只需一次启动,按提示依次输入已知两点坐标、观测角数据后,直接求出所需的两点坐标,非常快捷、方便、适合于野外作业。

目前大部分的测量技术人员使用的计算器均为CASIOfx-4800p(或fx-4500p)计算器；针对此种计算器编制如下程序。其中{}里内容是为了方便阅读加上的注释。↙代表“EXE”回车键。

1)编程操作步骤

按“ACON”键：开机；

按“MODE”键：进入模式选择；

再按“5”键：进入程序编辑；

再按“1”键：进入新建程序；

按“SH IFT”再按“ALPHA”键：进入大写字母锁定；

按 2、D、H、F、J 键：输入程序名 2DHFJ(坐标计算主程序名)；

按“EXE”再按“1”键：进入程序内容编辑界面。

(主程《序2DHFJ)输入如下：

C“XA”：D“YA”：E“XB”：F“YB”：{输入已知 A、B点坐标}

M“A1”：N“B1”：O“A2”：P“B2”：2{输入观测角a1、b1、a2、b2}

R=sinO·sin(N+P)/sinP/sin(M+O)：{计算 Q值}

S=tan-1{(1-R)/(1+R)÷tan((M+N)/2)}：

A=S+90°-(M+N)/2 ：B=A-2S：{计算 r1、δ1}

prog“QFZ”：↙{转入子程序计算 P1点坐标}

K=180°-(M+O+A) ：L=180°-(N+P+B) ：{计算 r2、δ2的值}

U=C：V=D ：C=E：D=F ：E=U ：F=V ：{A、B点坐标互换}

A=L ：B=K：{r2、δ2的值互换}

prog“QFZ”：“END”↙{转入子程序计算P2点坐标,程序结束}

程序输入完成,按“MODE 1”退回开机界面。

(子程序QFZ)的输入同主程序类同,进入程序编辑界面后,输入如下：G=1÷tanA+1÷tanB：X“XP”=(C/tanB+E/tanA-D+F)÷G ◢

Y“YP”=(D/tanB+F/tanA+C-E) ÷G ◢ ↙程序输入完成,按“MODE 1”退回开机界面。

2)程序使用方法

直接启动“2DHFJ”主程序后,按提示依次输入坐标 XA、YA、XB、YB,观测角 a1、b1、a2、b2,按“EXE”回车键,即可得到 P1点的坐标(XP,YP)；继续按“EXE”回车键又可得P2点的坐标。

3 双点后方交会程序测量应用实例

在大新锰矿进行矿山测量时,经常遇见的一个问题是：标定天井出口位置,或者测量地表现状图。要做这些工作,首先附近必须要有测量控制点。而大新锰矿的现状是：整个矿区是一弯曲的沟带地形,两边是高山,以前的控制点都布置在两边的高山上,由于年代已久,部分已遭到破坏；另一方面,露天开采,地表破坏严重,地面不可能有控制点。现要在这些地方作测量工作,首先必须作加密图根点(或者说引测测量控制点)。在没有 GPS测量仪器的情况下,通常的加密图根点方法是3点后方交会法、前方交会法和导线法。3点后方交会法必须有3个已知点,在这受地形限制,一般只见2个已知点,无法使用3点后方交会法,而前方交会法或导线法都必需要登上山顶进行施测。由于年代已久,无路可寻,要登上山顶测量是非常困难的。这时,用双点后方交会法,就可非常方便、快速地解决这一难题。

下面是一个在标定天井出口位置时,引测控制点的一个实例(P1、P2为所引测的控制点)。观测示意如图2。

图2 观测示意

已知：假林山A点坐标(X=2 535 062.24 m,Y=36 365 587.89 m),把民山 B点坐标(X=2 536 125.59 m,Y=36 366 597.87 m)；

分别在P1、P2点设置测站观测,观测角值如下：

a1=130°26′58″；b1=316°49′03″；

a2=40°22′41″；b2=230°39′29″；

现用CASIOfx-4800p计算器程序法计算 P1、P2点坐标。

按“ACON”键：开机；

按“FILE”键：进入程序文件列表；

按上下光标键找到“2DHFJ”

按“EXE”键：屏幕显示 XA？；

输入A点X坐标2 535 062.24：

屏幕显示2 535 062.24；

按“EXE”键：屏幕显示 YA？；

输入A点 Y坐标36 365 587.89：

屏幕显示36 365 587.89；

按“EXE”键：屏幕显示 XB？；

输入B点X坐标2 536 125.59：

屏幕显示2 536 125.59；

按“EXE”键：屏幕显示 YB？；

输入B点 Y坐标36 366 597.87：

屏幕显示36 366 597.87；

按“EXE”键：屏幕显示A1？；

输入观测角 a1 130°26′58″：

屏幕显示 130°26′58″；

按“EXE”键 ：屏幕显示 B1？：

输入观测角 b1 316°49′03″：

屏幕显示 316°49′03″：

按“EXE”键：屏幕显示A2？；

输入观测角 a2 40°22′41″：

屏幕显示 40°22′41″；

按“EXE”键 ：屏幕显示 B2？：

输入观测角 b2 230°39′29″：

屏幕显示 230°39′29″；

按“EXE”键两次：屏幕显示所求 P1点的坐标X、Y分别为：

XP=2 535 883.85

YP=36 365 383.21继续按“EXE”键两次：屏幕显示所求P2点的坐标X、Y分别为：

XP=2 536 053.34

YP=36 365 504.38

上述计算十分方便、快速,适合野外作业、计算。

以上实例,如果用前方交会法,登上山顶进行施测,同等人力物力,最少要用1～2 d的时间,而使用双点后方交会法进行测量,在1 h内即可得到结果。可以这么说,这时候双点后方交会法在测量中的优越性是无可替代的。

当然,双点后方交会也有它的缺点；由于可用控制点较少,缺乏检验性,因此,在实际应用中必须十分细心,测量时所有观测角均须两个测回以上,做测回差检核[4],保证观测数据正确无误。

[1]蒋维恒,章书寿.测量学[M].北京：测绘出版社出版,1985.

[2]葛永利.后方交会测量方法实践[J].矿业快报,2001,(7)：12-13.

[3]林丽江.论后方交会测量方法和内业电算程序的应用[J].企业科技与发展,2009,(10)：116-118.

[4]李五夫.两点后方交会原理及其精度分析[J].测绘工程,1996,2(5)：59-63.