参数估值的模糊Bayes方法探讨

马家蓉,徐 军

(1.成都大学信息科学与技术学院,四川成都 610106;2.成都市城乡建设委员会,四川成都 610031)

0 引 言

在工程中遇到的实际工程参数通常是一种变异性很大的各向异性体,工程设计施工中所需的参数,一般是依据实验数据进行简单统计分析,在处理具体问题时,样本容量小,实验数据离散大,其结果必然导致人为不确定.工程设计中根据可靠性理论[1]使用JC法求取破坏概率和可靠指标时,指定随机变量的统计参数值和概率分布是必需的.就工程设计参数的概率分布推断方法而言,一些学者对其进行了详细研究[2-5].由于工程样本通常是典型的随机—模糊样本,文献[6]将工程样本作为随机模糊样本,提出求解随机模糊样本均值和方差的公式.在此基础上,本文提出以模糊数学原理和概率理论为基础的模糊Bayes方法推断参数特征值.

1 Bayes参数估值方法

Bayes参数估值法是根据Bayes统计理论引申而来,利用先验分布信息,即利用已积累的某一参数的实验资料,对分布概型进行初估,再根据后验数据,即某一具体工程项目的有限实验数据,对概率分布参数重新加以估计.该方法能够较好地避免由于实验数量不足引起的统计参数的偏差,并确定样本参数的概率分析参数.

Bayes参数估值方法的具体步骤是,若设变量x的先验密度函数为 f′(x),后验密度函数为 f″(x),根据Bayes公式[3]有,

式中,P(E|xi)=P(E|xi≤x＜xi+△x),表示xm发生在区间(xi,xi+△x)上的实验概率,E代表实验结果,n代表试验分段数.

直接应用上式计算后验分布函数一般难以用解析式表达,故可假设后验分布函数与先验分布函数一致,然后确定变量的后验分布函数.根据概率理论中均值与方差的定义,变量的后验分布参数的均值与方差可近似为,

2 参数估值的模糊Bayes方法

2.1 参数样本值随机模糊分析

2.1.1 样本参数均值.

取论域,U={x1,x2,…,xn},A—为 U上的一个模糊子集,论域中 U的元素xi对A—的隶属度为uA(xi),则 A—的核 A1为,

若上式的能够表示为,

则此式即为所给某参数所具有的统计均值.

取样本 xi对A的隶属函数为,

式中,xi为样本值,x—为待求特征值,Di1是xi关于模糊集合A—的核的加权马氏距离,ωi为权重,为方便起见,取,

显然,隶属函数(6)具有这样的规律:xi距x—的加权马氏距离越大,则它对A—的隶属度越小.隶属函数确定之后,可按使实际样本值整体上隶属于样本模糊子集A的程度最大的原则,建立并寻找所具有的统计特征值的目标函数,

将式(6)代入式(7)得,

对式(8)有,

由式(9)得,

2.1.2 样本方差.

设η是基于样本值,U={x1,x2,…,xn},的随机模糊变量,令,

取论域,

则,η对论域R上的模糊子集B—的隶属函数为,

同理,可建立目标函数,

据此,可得样本方差所服从的随机模糊统计关系为,

2.2 模糊Bayes方法确定样本参数

设自然状态集合为,S = {S1,S2,…,Sh}, P(Si)是自然状态的先验概率.下面讨论有追加信息的场合,称集合,X={x1,x2,…,xn},为信息源,设自然状态为真的条件概率 P(xm|Sn)已经给出.由Bayes公式知道Sh的后验概率为,

若信息源X中的每个信息本xm既是随机又是模糊,则需要从中提取模糊信息.根据模糊事件概率的定义,模糊Bayes法则可表示为.

设变量x的先验分布函数为f′(x),后验分布函数为f″(x),则,

式中,P(xm|xi)= P(xm|xi≤x＜ xi+△x),表示 xm发生在区间(xi,xi+△x)上的实验概率,xm代表实验结果 ,K代表试验分段数.

直接应用(17)式计算后验分布函数一般难以用解析式表达,故可假设后验分布函数与先验分布函数一致,然后确定变量的后验分布函数.

根据概率理论中均值与方差的定义,变量的后验分布参数的均值与方差可近似由式(2)、(3)确定.至此,我们求得样本参数特征值.

同时,不难证明,基于概率统计的Bayes方法是本文方法的一种特例.假设,X信息源不考虑其模糊性,则,

将其代入式(17),即为式(1).所以,模糊Bayes法是常规Bayes法的一个特例.

3 算 例

通过对国内95座已建土石坝工程建筑材料基本参数的统计,可得中壤土固结快剪 C服从极值I型分布样本数据52个,均值18.0,标准差11.2,K,α分别为12.96 kPa,0.1145 kPa,现5组试验如表1所示,求参数估值.

表1 参数随机模糊处理结果

对以上试验数据用模糊Bayes方法进行样本参数估值:首先分5个区间,

所以有,

由式(17)得,

由式(2)、(3)得,

所以,

故,分布密度函数为,

4 结 语

由于受地质运动、环境变化以及人类工程活动的影响,工程体的力学性质非常复杂,其本身的各种参数具有很大的不确定性.在进行工程可靠性分析时,通常会以一定的概率模型(概率分布函数或概率密度函数)来描述其力学参数所具有的不确性,对力学参数的概率分布特性研究始终是一项基础性工作.本文将工程样本作为典型的随机 —模糊样本,提出以模糊数学原理和概率理论为基础的模糊Bayes方法推断参数特征值,经具体工程项目的应用证明其是一种较有效的方法.

[1]吴世伟.结构可靠度分析[M].北京:人民交通出版社, 1990.

[2]徐超,杨林德.随机变量拟合优度检验和分布参数Bayes估计[J].同济大学学报,1998,26(3):340-344.

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