剖析命题 修正结论 完善简解

226100 江苏省海门中学 孙 芸

剖析命题 修正结论 完善简解

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并利用该命题简解了一类高考压轴题:“对∀x≥0，f(x)≥g(x)或f(x)≤g(x)恒成立，其中f(x)或g(x)含参数a，试确定参数a的取值范围．”简解的思路是:对∀x≥0，只要对f(x)≥g(x)或f(x)≤g(x)两边取导数，再从f'(x)≥g'(x)或f'(x)≤g'(x)中分离出参数a，转化为最值问题．

笔者研究后发现上述命题和简解都是错误的，本文先作一剖析，再将错误命题修正，并给出简解的完善，不当之处，恳请大家指正．

1 命题的剖析

原命题假逆命题真，说明在给定的已知条件下，“f'(x)≥g'(x)恒成立”是“f(x)≥g(x)恒成立”的充分不必要条件，文［1］依据命题得到的简解实际上利用已知条件的充分不必要条件解题，所以是错误的，虽结果正确但纯属巧合而已.

2 结论的修正

经过探究，文［1］命题可作如下修正:

定理1 如果函数f(x)，g(x)在x≥m时均可导，f(m)=g(m)，且当 x≥m 时，f(x)≥g(x)恒成立，那么∃δ＞0，使得当 x∈［m，m+δ)时，f'(x)≥g'(x)恒成立．

若令h(x)=f(x)-g(x)，则定理1等价叙述为:

定理2 如果函数h(x)在x≥m时可导，h(m)=0，且当x≥m 时，h(x)≥0恒成立，那么∃δ＞0，使得当x∈［m，m+δ)时，h'(x)≥0恒成立．

定理2的实质是:当可导函数在零点处及其右侧函数值大于等于0时，该函数在零点右侧必先单调递增(非严格递增)．这是显然成立的，否则若h(x)在零点右侧先单调递减(严格递减)，则∃x0＞0，使 h(x0)＜h(0)=0，这与h(x)≥0恒成立矛盾．

同样有:

定理3 如果函数h(x)在x≥m时可导，h(m)=0，且当x≥m 时，h(x)≤0恒成立，那么∃δ＞0，使得当x∈［m，m+δ)时，h'(x)≤0恒成立．

3 简解的完善

由以上4例可以看出，运用本文定理解答“已知对∀x≥m，f(x)≥g(x)恒成立，且满足 f(m)=g(m)，其中f(x)或g(x)含参数a，试确定参数a的取值范围.”这一类问题的基本步骤是:

第1步(求出必要性):运用定理1得出∃δ＞0，使得当 x∈［m，m+δ)时，f'(x)≥g'(x)恒成立，从而有f'(m)≥g'(m)，由此解出参数a的范围A;

第2步(验证充分性):检验当a∈A时满足题意;

第3步(下结论):综合1、2两步，得a的取值范围是A．

值得注意的是，在第1步中，如果出现 f'(m)=g'(m)，则需要再次运用定理1，比如例3和例4．

作为本文结束，留几道题供读者练习:

1.(2006全国卷Ⅱ第20题)设函数f(x)=(x+1)ln(x+1)，若对所有x≥0，都有 f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．

2.(2007年全国卷Ⅰ第20题(2))设函数f(x)=exe-x，若对所有x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．

1 张润平．高等数学背景下一类压轴题的简解［J］．中学数学(高中版)，2011，2

20110712)