线性空间直和分解定理的推广及应用

李毛亲

（台州学院 数学与信息工程学院，浙江 临海 317000）

线性空间直和分解定理的推广及应用

李毛亲

（台州学院 数学与信息工程学院，浙江 临海 317000）

把高等代数中线性空间的直和分解定理推广到一般情形.对于n维线性空间V上线性变换A的任一个化零多项式f（x），若f（x）为若干个两两互素的多项式的乘积，则线性空间V可以相应地分解成有限个A的不变子空间的直和.一些应用实例被给出.

线性空间；直和分解；多项式互素

在高等代数中，线性空间的直和分解定理是一个非常重要的定理，是研究矩阵对角化和Jordan标准形的理论基础.［1］中的直和分解定理如下：

定理1［1］设V是数域P上的n维线性空间，V上的线性变换A的特征多项式f（x）可以分解成互异的一次因式方幂的乘积

则V可以分解成s个A的不变子空间的直和

多项式g（x）称为线性变换A的化零多项式，若g（A）＝0.我们把定理1推广到A的任意化零多项式上去.

定理2 设V是数域P上的n维线性空间，若V上的线性变换A的化零多项式f（x）=f1（x）f2（x）…fs（x），f1，f2，…，fs两两互素，则V可以分解成s个A的不变子空间的直和

为证明该定理，我们首先给出两个引理，这两个引理除了在证明该定理时起重要作用外，本身也是重要的结论.

引理 1 设 f（x）=f1（x）f2（x）…fs（x），f1，f2，…，fs两两互素，则 g1，g2，…，gs互素，

证明 设（g1，g2，…，gs）＝d（x），考虑 d（x）/g1（x），由于 g1=f2…fs，若 d（x）≠1，可设 p（x）是 d（x）的一个不可约因式，由 p（x）/f2…fs可知，p（x）至少整除其中之一，不妨假设 p（x）|f2（x），考虑到 p（x）是 g1，g2，…，gs的一个公因式，得 p（x）|g2（x），于是 p（x）是 f2（x）和 g2（x）的公因式，但（f2（x），g2（x））=1，矛盾.所以 d（x）=1.

证明 对 Aα∈Ker fi（A），由于（fi（x），gi（x））=1，存在 P 上的多项式 ui（x），vi（x）使得

于是 ui（A）fi（A）α+vi（A）gi（A）α=α，由 fi（A）α=0，得

另一方面，对 Aα∈Imgi（A），存在 β∈V，使得 α=gi（A）β，fi（A）α=fi（A）gi（A）β＝f（A）β＝0，所以 α∈Kerfi（A），得

同……