矩形的弦长分布

李德宜，杨佩佩，李 亭

（武汉科技大学理学院，湖北武汉，430065）

1 基本方法

设D为平面凸体，即具有非空内部的紧凸集。G＝G（p，φ）为平面中的直线，其广义法式方程[1]为xcosφ＋ysinφ＝p，称（p，φ）为直线G的广义法式坐标。用λi（E）表示点集E的i维测度。σ表示直线G被凸体D截出的弦长，σ＝λ1[G（p，φ）∩intD]，当G仅与边界∂D相交时（含G∩∂D是线段的情形），约定σ＝0。

定义1 设D为平面凸体，对任意给定的σ及φ（0≤φ＜2π），称二元函数

为凸域D的广义支持函数[1－2]。

定义2 以σM（φ）表示垂直于φ方向的直线G被凸体D截出的弦长最大值，即

对任意给定的l（≥0）及φ（0≤φ＜2π），令

称二元函数r（l，φ）为凸域D的限弦函数[1－2]。

定理1[3]设K为周长等于L的凸体，G为随机直线，则有

2 凸体弦长分布函数的定义

设K为周长等于L的平面凸体，有关K的一些随机变量、平均量得到了广泛关注和研究，比如K内两点间的平均距离[4]、平均弦长[5]等。设G为随机直线，当G与K相交时，G被K截得的弦长σ也是随机的，本文讨论弦长的分布。

定义3 设K为平面凸体，G为与K相交的随机直线，截出的弦长为σ，弦长分布函数[3]F（）y定义为

3 矩形的弦长分布函数

对于光滑严格凸的凸体，较容易求出弦长分布函数，但当凸域具有平行边时，因为弦长定义中的特殊约定，对它的处理则需要单独进行。

定理2 边长为a和bb≤（）a的矩形的弦长分布函数F（y）为

证明：在平面上取直角坐标系xoy，设矩形域为（R），不失一般性，可设b≤a，矩形的直径记为d，由对称性，可以仅考虑的情形。此时，矩形的最大弦长函数为

矩形域（R）的限弦函数r（l，φ）为

矩形的广义支持函数为

求矩形的弦长分布主要是求出积分

等式右边第3项是由于平行边而必须添加的，即

等式右边第3项和第7项是由于平行边而必须添加的，即

根据矩形的对称性

证毕。

推论 边长为a的正方形的弦长分布函数为

[1] 任德麟.积分几何学引论[M].上海：上海科学技术出版社，1988：3－5，71－73.

[2] Ren Delin.Topics in integral geometry[M].Singapore：World Scientific，1994：70－78.

[3] L A Santalo.积分几何与几何概率[M].吴大任，译.天津：南开大学出版社，1991：40－89.

[4] 程鹏，李寿贵，许金华.凸域内两点间的平均距离[J].数学杂志，2008，28（1）：57－60.

[5] 赵静，李德宜，王现美.凸域内弦的平均长度[J].数学杂志，2007，27（3）：291－294.