再探无固定悬挂点单摆的周期

姜付锦

(武汉市黄陂区第一中学 湖北 武汉 430030)

《物理通报》2009年第4期刊登了《探讨无固定悬挂点单摆的周期》[1]一文，深入浅出地探讨了无固定悬挂点单摆的周期问题.但笔者认为文中存在几个问题.

(1)动能定理只适用于惯性参考系，不适用于非惯性参考系；

(2)在惯性参考系中不考虑惯性力；

(3)动量守恒定律只适用于惯性参考系，不适用于非惯性参考系．考虑了以上问题后，笔者对这个问题有以下分析.不当之处还请各位物理同仁批评指正．

1 无固定悬挂点单摆模型

如图1，光滑的水平杆上，有一个圆环O，质量为M，圆环上悬挂一单摆，单摆的摆长为l，摆球的质量为m，摆线长远大于摆球及圆环的半径．初始时单摆与竖直方向成θ(θ<5°)角度.求单摆运动的周期．

图1

2 摆球相对于圆环的周期

2．1 根据求解

便可以把物体运动的周期求出．

选摆球为研究对象，以圆环为原点建立坐标系，分析物体受力.从图1 可知摆球所受回复力为

f=mgsinθ+maMcosθ

(1)

我们只需求出aM的值，即可求得回复力的值．

而选圆环为研究对象以地面为参考系，可得

Tsinθ=MaM

(2)

摆球所受向心力为

(3)

图2

如图2所示，设此时圆环的水平速度为v环，摆球相对小圆环的速度为v相，则由机械能守恒定律与水平方向上动量守恒定律得

mgl(cosθ-cosθ0)=

(v相cosθ-v环)2]

(4)

m(v相cosθ-v环)=Mv环

(5)

由式(4)、(5)可得

(6)

求得

T=mgcosθ-maMsinθ+

(7)

因为θ角为微小角，则cosθ、cosθ0按幂级数展开都近似等于1，则

cosθ-cosθ0=0

于是式(7)变为

T=mgcosθ-maMsinθ

(8)

把式(8)代入式(2)可得

(9)

其中cosθ≈1,sin2θ≈0.把式(9)代入式(1)可得

由于θ为微小量，有θ≈sinθ.所以

得

摆球相对于圆环的振动周期为

2．2 根据vmax=Aω求解

若θ为细线与竖直方向的最大夹角，以圆环……