乘积因子群为超可解群的充分条件

钱 伟， 郭秀云

(上海大学理学院，上海200444)

自著名群论专家Burnside证明了任意单群不含长度为素数的正方幂的共轭类之后，人们就对利用共轭类长来研究有限群的结构产生了极其浓厚的兴趣.Chillag等［1］证明了如果群G的每一个共轭类长无平方因子，则G必为超可解群.沿用这一思想，任永才［2-4］进一步研究了其共轭类长无平方因子的群的结构以及其共轭类长无立方因子的群的结构.刘晓雷［5］利用因子群中元素的共轭类长来研究乘积因子群的结构，给出了乘积因子群为超可解群的一些充分条件.本研究将继续这一思想，通过减弱乘积因子群中因子群的初始条件，给出群为超可解群的一些新的充分条件.

1 预备知识

本研究所考虑的群均为有限群.为后面引用方便，本节先给出一些基本概念与基本引理.如果x是群G的元素，则xG表示x所在的共轭类，从而|xG|表示x所在的共轭类长.

定义1 如果群G的子群A与G的每个Sylow子群可交换，则称A为G的S-拟正规子群.

引理1［1］设N为群G的正规子群，x为G的一个元素，则|xN|||xG|，且|(xN)G/N|||xG|.

推论1 设N为群G的次正规子群，x∈G，则|xN|||xG|.

证明 因为N为群G的次正规子群，所以存在如下从N到G的次正规子群列：

由引理1可知，|xNi|||xNi+1|，i=0，1，…，s-1，所以|xN|||xG|.

引理2［1］设G是非Able群，如果对于G的每个共轭类C，其|C|无平方因子，则G为超可解群.

引理3［6］如果子群H为群G的S-拟正规子群，则H/HG是幂零的.

2 主要结果

定理1 设A和B都是群G的子群，且G=AB.如果A为G的正规子群，且对于A∪B中的每一个元x，|xG|是无平方因子的，则G为超可解群.

证明 假设定理不成立，且设G为一个极小阶反例，那么我们通过以下论述来完成定理的证明.

(1)定理的假设条件是商群遗传的.

实际上，设L为G的一个正规子群，我们考虑商群G/L.显然G/L=(AL/L)(BL/L)，且AL/L是G/L的正规子群.任取xL∈AL/L∪BL/L，则存在y∈A∪B，使xL=yL.由于|(xL)G/L|=|(yL)G/L|，由引理1知，|(xL)G/L|无平方因子.从而G/L满足定理的假设条件.

(2)G有唯一的极小正规子群 N，使得 N= F(G)，其中N是阶为pn的初等交换p-群，且n≥2.

如果G有2个极小正规子群，设为N，N1.因为G为极小阶反例，则由结论(1)可知，G/N和G/N1都为超可解群.因为G/N∩N1同构于G/N与G/N1直积的子群，G同构于G/N∩N1，可知G为超可解群，矛盾.因此，G有唯一的极小正规子群N.如果A=1，则G=B.由引理2知，G为超可解群.所以，可以假设A≠1.由于A为G的正规子群，且对任意x∈A，有|xA|||xG|，从而|xA|无平方因子.再由引理2可知，A是超可解群.由N的唯一极小性，保证N≤A.因此，N为pn阶的初等交换p-群.如果Φ(G)≠1，则由结论(1)可知，G/Φ(G)是超可解群，从而G为超可解群.因此，Φ(G)=1.又由G有唯一极小正规子群可知，N=F(G).如果n=1，则N为循环群.由G/N是超可解群可知，G是超可解群，矛盾.因此n≥2.

(3)设T/N是G/N的极小正规子群，则存在T中的q阶元x，使得T=N〈x〉成立，且q≠p.进一步可得，N∩CT(x)=1.

由G/N是超可解群可知，存在G/N的正规q阶子群T/N.如果q=p，则T为G的正规p-子群，所以，T≤F(G)=N，矛盾.因此，q≠p.由 Schur-Zassenhaus定理，存在T的q阶元x，使得T=N〈x〉.如果存在1≠u∈N∩CT(x)，则由N为初等交换p-群，可以得到u∈Z(T)，于是，就有1≠Z(T)正规于G.由N的唯一性知，N≤Z(T).因此，T=N×〈x〉，则T幂零.T≤F(G)=N，矛盾.所以，N∩CT(x)=1.

(4)N=A.

N的唯一性隐含着N≤A.如果N＜A，则A/N是G/N的不为1的正规子群.由G/N是超可解群可知，在A/N中存在一个G/N的正规子群T/N，且|T/ N|=q.由结论(3)可知，存在T中q-阶元x，使|xT|= |T∶CT(x)|=|NCT(x)∶CT(x)|=|N|=pn(n≥2).由引理1得，|xT|||xG|，这与|xG|无平方因子矛盾.故N=A.

(5)极小阶反例不存在.

设T/N是G/N的极小正规子群.由结论(3)可知，存在T的q-阶元x，使得T=N〈x〉成立，且N∩CT(x)=1.由于G=AB，所以存在a∈A，b∈B，使得x=ab成立.由于 CN(x)=1，CN(a)=N，所以CN(b)=1，故|bA|=|bN|=|N∶CN(b)|=pn.但是，由引理1知，|bA|||bG|.这与|bG|无平方因子矛盾.因此，定理成立.

定理2 A和B都是群G的子群，且G=AB.如果A是G的S-拟正规子群，且对于A∪B中的每一个元x，|xG|是无平方因子的，则G是超可解群.

证明 假设定理不成立，且设G为一个极小阶反例，那么我们通过以下论述来完成定理的证明.

(1)定理的假设条件是商群遗传的.

实际上，设L为G的一个正规子群，我们考虑商群G/L.显然G/L=(AL/L)(BL/L)，且AL/L是G/L的S-拟正规子群.任取xL∈AL/L∪BL/L，则存在y∈A∪B，使得xL=yL成立.由于|(xL)G/L|=|(yL)G/L|，由推论1知，|(xL)G/L|无平方因子.从而G/L满足定理的假设条件.

(2)设p是整除|A|的最大素因子，则G有一个极小正规子群N，使得|N|=pn.

事实上，如果A=1，则G=B.由引理2知，G为超可解群.所以，可以假设A≠1.又由A是G的S-拟正规子群可知，A是G的次正规子群.根据推论1，对任意x∈A，都有|xA|||xG|.再利用引理2知，A为超可解群，故F(A)≠1.由于F(A)≤F(G)，从而F(G)≠1.故G有pn阶的极小正规子群N.

(3)G可解.

由结论(1)和(2)知，G为可解群.

(4)N是 G的唯一的极小正规子群，从而，F(G)=N，Φ(G)=1，且n≥2.

如果G有2个极小正规子群，设为N和N1.则由结论(1)可知，G/N，G/N1都为超可解群.再由G/ N∩N1同构于G/N与G/N1直积的子群，以及G同构于G/N∩N1可知，G为超可解群，矛盾.因此，G有唯一的极小正规子群N.如果Φ(G)≠1，则由结论(1)可知，G/Φ(G)是超可解群.从而，G是超可解群.因此，Φ(G)=1.又由G有唯一极小正规子群可知，N=F(G).如果n=1，则N为循环群.由G/N是超可解群可知，G是超可解群，矛盾.因此，n≥2.

(5)设T/N是G/N的极小正规子群，则存在T中的q-阶元x，使得T=N〈x〉成立，且q≠p.进一步有，N∩CT(x)=1.

由G/N是超可解群知，存在素数q，使|T/N|= q.如果q=p，则T即为G的正规p-子群，所以T≤F(G)=N，矛盾.因此，q≠p.由Schur-Zassenhaus定理，存在T的q-阶元x，使得T=N〈x〉，其中o(x)=q.如果存在1≠u∈N∩CT(x)，则由N为初等交换p-群，可以得到u∈Z(T).于是，就有1≠Z(T)正规于G.由N的唯一性知，N≤Z(T).因此，T=N×〈x〉.故T≤F(G)=N，矛盾.所以N∩CT(x)=1.

(6)N≤A.

因为A是G的S-拟正规子群，由引理3可知，A/AG幂零.如果AG=1，则A幂零，于是，A=F(A)≤F(G)=N.设T/N是G/N的极小正规子群，由结论(5)可知，存在 T的 q-阶元 x，使 T=N〈x〉，且N∩CT(x)=1.由于G=AB，所以存在a∈A，b∈B，使x=ab.由于CN(x)=1，CN(a)=N，所以CN(b)= 1.故|bN|=|N∶CN(b)|=pn.但是，由引理1可知，|bN|||bG|，这与|bG|无平方因子矛盾.所以，可以假设AG≠1，故N≤AG≤A.

(7)设r是|G/N|的最大素因子，则r＜p，从而G/N为p'-群.

如果N＜A，设q=max{r是素数|r||A|}，且Q∈Sylq(A).由于G/N为超可解群，所以G/N有正规的r阶子群H/N.由结论(5)可知，H=〈x〉N，且〈x〉为r阶循环群.如果r＞p，则由结论(2)知，B的Sylow r-子群也是G的Sylow r-子群，从而x∈B.由假设可知，|xG|无平方因子，这与结论(5)矛盾.如果r=p，则 G/N的 Sylow p-子群在 G/N中正规，这与F(G)=N矛盾.故r＜p.

(8)极小阶反例不存在.

实际上，由于A为G的次正规子群，故存在G的正规子群M，使得A≤M，且|G/N∶M/N|=t为素数.此时，M=M∩G=A(M∩B).由引理1可知，对任意y∈A∪(B∩M)，|yM|是无平方因子的，G的极小性表明M为超可解群.故M'≤F(M)≤F(G)= N，从而M/N为交换群.设Mp'是M的Hall p'-子群，且M∩B≤Mp'.由于M∩B是B的指数为t的正规子群，所以，当M∩B≠1时，可以取包含在M∩B中的B的极小正规子群，记为H1.B的超可解性隐含着H1=〈g〉为素数阶子群.由Mp'的交换性即知，〈Mp'，B〉≤NG(H1).故H1N/N是G/N的极小正规子群.由于g∈B，所以|G∶CG(g)|无平方因子，从而|H1N∶CH1N(g)|也无平方因子，这与结论(5)矛盾.故M∩B=1.从而M=A为G的正规子群.这时，由定理1可知，G为超可解群，矛盾.定理得证.

［1］ CHILLAGD，HERZOGM.On the length of the conjugacy classes of finite groups［J］.J Algebra，1990，131：110-125.

［2］ 任永才.共轭类的长和有限群的结构［J］.数学进展，1994，23(5)：405-410.

［3］ 任永才.p-可解群的p-正则类的长和p-秩［J］.科学通报，1994，39(4)：301-303.

［4］ RENY C.On the length of p-regular classes and the pstructure of finite groups［J］.Algebra Colloq，1995，2 (1)：3-10.

［5］ LIUX L.Notes on the length of conjugacy classes of finite groups［J］.Journal of Pure and Applied Algebra，2005，196(1)：111-117.

［6］ DESKINSW E.On quasinormal subgroups of finite groups［J］.Math Z，1963，82：125-132.

［7］ 徐明曜.有限群导引(上)［M］.北京：科学出版社，2001.

［8］ CAMINAA R.Arithmetical conditions on the conjugacy class numbers of a finite group［J］.J Lond Math Soc，1972，2(5)：127-132.