非均匀圆膜轴对称振动的离散模型的振动反问题

王其申，汪 杨，何 敏，钱华峰，刘全金

(1.安庆师范学院 物理与电气工程学院，安徽 安庆 246011;2.安庆师范学院 数学与计算科学学院，安徽 安庆 246011)

1 圆膜轴对称振动方程及其离散模型

考察质量轴对称分布的圆膜，其面密度只与半径r有关，即ρ=ρ(r)。这时圆膜振动方程成为:

这里y=y(r，θ，t)是膜的横向位移函数。考察最一般的轴对称边界条件:

其中:T与σ是正常数。对于这类轴对称膜的轴对称振动，膜的位移仅与径向坐标有关，y=y(r，t)。把方程(1)分离变数:y=u(r)ejωt，相应的径向方程成为:

这里ω是系统固有振动的圆频率。

一般而言，方程(3)已不是Bessel方程，但它显然仍为斯图膜-刘维尔型方程。上述方程在由式(2)经分离变量所得的边界条件:下，构成了较为特殊的一类斯图膜-刘维尔方程的本征值问题［1］。按照斯图膜-刘维尔方程的标准形式，这里的p(r)=rT，它在区间［0，a］的端点r=0处取零值，因而属于奇异本征值问题。相应地应有u(0)有界。由于这里仅考虑轴对称振动，进一步应有:

显然，对于一般的密度函数ρ=ρ(r)，特征值问题方程(3)～(5)没有精确解。为了寻求它的近似解，我们首先建立与方程(3)～(5)相应的差分离散系统。

图1 轴对称膜的差分格式Fig.1 The difference scheme of the axisymmetric circular membrane

引入差分点0=r0＜r1＜…＜rn=a并记lr=rs-rs-1(s=1，…，n)，这相当于把圆r≤a划分成一个一个的圆环，如图1所示。记fs、f's与f″s为相应函数在差分点rs(s=0，…，n)处的值，那么利用函数的精确到二阶小量的泰勒公式:

在略去高阶小量后，不难解出如下的二阶中心差分公式:

记us=u(rs)(s=0，…，n)。对于s=1，…，n-1 的内点，将上面的二阶中心差分公式(7)代入式(3b)有:

对s=n的端点处，直接利用泰勒展式(6)和边界条件式(4)得到: