从空间到 QK(p,q)空间上的Volterra型复合算子

张铮，谭海鸥

（五邑大学 数学与计算科学学院，广东 江门 529020）

张铮，谭海鸥

（五邑大学 数学与计算科学学院，广东 江门 529020）

记D是复平面的开单位圆盘，H( D)表示D上的解析函数的全体，给出并证明了从空间到 QK(p,q)空间上的Volterra型复合算子有界性和紧性的充分必要条件.

Volterra型复合算子； QK(p,q)空间；空间；有界性；紧性

1 引言及预备知识

设 φ∈ B( D)，y( z)∈ H( D )，算子Iy,φ定义为称为Volterra型复合算子.

定义1[1]设分别为加权空间、加权小空间.

定义2[2]设且满足

称 f属于 QK(p,q)空间.其中权函数K满足以下条件：

a）K为非减函数；

b）K在（0,1）上二阶可微；

关于Volterra算子Jφ已有很多研究成果，如于燕燕[2]刻画了Bloch空间上的型复合算子有界性的充分必要条件；黄小玲等[3]刻画了Bloch型空间中B Bα→ Volterra算子的有界性；瞿丹[4]讨论了Bloch型空间中的Volterra算子的有界性.本文给出并证明了从加权Bloch型空间到 QK(p,q)空间上的Volterra型复合算子有界性和紧性的充分必要条件，其中C表示常数，在不同的地方C表示不同的值.

2 预备引理

引理1[5]存在函数使得

3 主要结果

定理1 设α＞0，0＜p＜∞，q＞-2，φ是D→D一个全纯自映射，则以下结论等价：

证明 3）⇒1）.设结论3）成立并且 C( C ＞ 0)是结论3）的上确界，如果则由闭图像定理只需证 Iy,φ( f)∈ QK(p,q).由结论3）有

定理2 设α＞0，0＜p＜∞，q＞-2， K :[0,∞) → [0,∞)为非减函数，且 φ∈ B( D)，则下列结论等价：

由结论3），存在 δ: 0 ＜δ＜1，使得

设a∈D，0＜t＜1，记Dt={z∈ D:z＞t}，令

因 Iy,φ(fn)∈ QK(p,q),0，故则∀a∈D，存在ta，0 ＜ ta＜1使 Ita(a)＜ε.由于 It( a)是关于a的一个连续函数，故存在a的领域N( a)⊂D，使得 Ita(z)＜ε(z ∈N( a )).因且为闭集，故存在 N( a1),… ,N( am)，使得对 ai( i = 1,2,… ,m)存在tai，使得 Itai(z) ＜ε(z ∈ N( ai),i =1,2,…,m).令 t0= max{ta1,… ,tam}，则当a≤δ时， It0(a)＜ε，所以

2）⇒1）显然成立.

所以，

故结论3）成立.

[1]谭海鸥.一类加权 α- Bloch 空间上复合算子的有界性和紧性[J].五邑大学学报：自然科学版，2004,18(4): 7-10.

[2]于燕燕.Volterra-type composition operators from logarithmic Bloch spaces into Bloch-type spaces[J].徐州师范大学学报：自……