一类改进的高斯-赛德尔迭代法的比较性定理

黄湧辉

（华南师范大学 数学科学学院，广东 广州 510631）

一类改进的高斯-赛德尔迭代法的比较性定理

黄湧辉

（华南师范大学 数学科学学院，广东 广州 510631）

讨论了改进的高斯-赛德尔迭代法的收敛性.若系数矩阵为非奇异不可约M-矩阵，则该预条件下高斯-赛德尔迭代法收敛的快慢取决于原高斯-赛德尔迭代法谱半径的大小.同样，在该预条件下高斯-赛德尔迭代法的谱半径大小与其他高斯-赛德尔迭代法的谱半径大小有关.

谱半径；预条件迭代法；非奇异不可约M-矩阵；收敛速度；高斯-赛德尔迭代法

考虑线性方程组

其中称 M-1N为方程（1）的迭代矩阵，迭代格式（2）是否收敛取决于迭代矩阵 M-1N.

一般地，对线性方程组（1）的系数矩阵A做如下的分裂

其中D为非奇异对角矩阵、L为严格下三角矩阵、U为严格上三角矩阵.

为讨论方便，当A可逆时，通过初等变换把A的对角元都化简为1，因此

对于形如式（3）的系数矩阵，Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵为： G =(I -L )-1U.虽然迭代法是求解线性方程组的主要方法，但是当系数矩阵的条件数较大时，系数矩阵对于求解线性方程组是病态的，此时迭代法会出现不收敛和收敛速度慢的情况；对于迭代法收敛速度慢的问题，采用适当的预处理技术，可以使系数矩阵的特征值分布更加集中，降低矩阵的条件数，改良矩阵的病态特性.

线性方程组（1）两端左乘可逆矩阵 P ∈Rn×n，使方程组等价地转换为预条件的方程组

通常称可逆矩阵P为预处理矩阵（或预处理因子），则与式（2）对应……