平移不变小波变换在消除电路噪声中的应用

谢琦，陈维义，林伟

（海军工程大学兵器工程系，湖北武汉 430033）

0 引言

现代火力控制系统中，对于各种故障的检测十分复杂，而且在信号采样的过程中常常不可避免地受到各种噪声的污染，加大了检测设备对故障检测的难度。因此，去掉这些噪声，可提高检测系统对采集信号的检测精度与可信度，对实现故障的准确判断是十分必要的。传统的低通滤波法将含噪信号的高频部分滤去，尽管达到了去噪的效果，但同时也破坏了信号的细节部分，损失了有用信息。

由于小波变换可同时做时频分析，具有良好的局部化性质，其多分辨率功能可聚焦到研究对象的任意细节，所以它一出现，便作为1种信号处理工具而得到了广泛应用。Donoho等在1994年首次提出了小波阈值去噪方法［1－2］并证明了该方法在Besov空间上可得到其他线性估计都达不到的最佳估计值。小波阈值法计算量小，去噪效果良好，得到了广泛的应用。但该方法去噪后的信号由于信号特征与小波基存在差异，在不连续领域容易产生Pseudo-Gibbs现象［3］，难以实现信号的精确重构。因此在标准正交小波变换的基础上提出平移不变小波变换［4］，该方法能有效抑制Pseudo-Gibbs现象，提高小波去噪能力。本文通过分析传统正交小波变换的不足，提出以平移不变小波法与新阈值函数相结合来进一步改善Pseudo-Gibbs现象、提高信噪比、减小均方误差，最后通过对实测数据的仿真计算，证明了该方法的有效性。

1 小波去噪方法基本原理

1.1 离散小波变换

常用的离散二进小波变换的分解与重构一般采用Mallat算法［5－6］，过程如图1所示。在对信号{aj}进行分解之前，先对数据边界进行延拓，使其成为无限长信号，信号经过小波低通滤波器Hj与小波带通滤波器Gj后，对数据进行下采样（↓2），截取部分系数作为{aj}的低频近似系数{aj+1}与高频细节系数{dj+1}。若进行下一级分解，仍旧对{aj+1}重复上述步骤，这样每次输出采样率都可减半，保证了总的输出系数长度不变;在重构时，将{aj+1}与{dj+1}向上抽样（↑2），然后分别作用于小波低通滤波器H'j与小波带通重构滤波器G'j，即可恢复上一尺度的{a'j}。

1.2 小波阈值法

一维含噪信号的数学模型可表示为:

式中:s（x）为有用信号;n（x）为噪声信号，理想情况可看做高斯白噪声，服从N（0，σ2）。记f（x）的小波系数Wf（j，x）为wj，x，s（x）的小波系数Ws（j，x）为uj，x，n（x）的小波系数Wn（j，x）为vj，x，阈值处理后的小波系数为w^j，x。

阈值法降噪的基本步骤如下:

1）含噪信号的分解。选择合适的小波基并确定分解层数j，运用Mallat算法对含噪信号分解至j层，然后计算信号在各层的小波系数。

2）系数的阈值量化。选择合适的阈值大小与阈值函数（软阈值或硬阈值），对分解后每1层的高频系数进行处理，得到新的高频系数。

3）信号的重构。将处理后得到的高频系数与原低频系数用Mallat算法进行信号重构，得到去噪后的信号。

传统阈值函数分软阈值与硬阈值2种，其中硬阈值函数表达式为:

软阈值函数表达式为:

1.3 离散小波变换的不足

由离散小波变换的过程可知，在尺度间的正交小波基是非一致降样取样的，随着尺度的增大，取样间隔以2的指数倍变大，因而不能从多尺度的角度很好的匹配信号的局部特征，所以该方法容易在信号的奇异点处产生Pseudo-Gibbs现象。

2 平移不变小波变换

2.1 基本原理

在奇异点附近的邻域内，传统小波变换去噪会表现出Pseudo-Gibbs现象，其重构的信号在奇异点附近交替出现较大的振荡。该现象并不是信号固有的，而是去噪过程中产生的人为干扰［1］。因为小波变换的局部化特征，其振荡幅度与奇异点的位置密切相关。例如，使用Haar小波基对噪声信号作小波变换，当奇异点位于n/2位置时，变换结果没有出现异常;当位于n/3位置时，将表现出显著的Pseudo-Gibbs现象。由以上分析可知，为消除小波去噪后的信号的振荡现象，应设法消除小波去噪在奇异点位置的特殊性。

平移不变小波去噪是在传统阈值法基础上的改进。其方法为对含噪信号进行n次循环平移，对平移后的信号使用阈值法进行去噪处理，然后对去噪结果求平均。

对于信号f（x），（0≤x≤N－1），定义Sh为循环平移h位的平移算子:

上面的算子是一一对应的，称为平移量。因此其逆为:

设信号进行阈值去噪过程为1个分析运算T，那么信号f（x）通过平移消除振荡的过程可写为:

对1个复杂信号，里面可能包含多个奇异点，对某个奇异点效果最佳的平移量对其他奇异点的效果可能很差，即难以得到对所有奇异点效果都最佳的平移量h。我们可以通过在一定平移范围H（H的最大长度为原始信号的长度N）内做循环平移运算，再平均所得的结果的方法来解决这一矛盾。则n次循环平移的平移不变小波去噪法可表示为:

其中，AVE表示“进行平均”。

2.2 平移不变小波变换去噪的基本步骤

1）对原始信号f（x）进行循环平移。

2）对平移后的信号做离散小波变换，得到各尺度上的小波系数wj，x。

3）对得到的各尺度上小波系数进行阈值处理，得到估计小波系数。

5）进行逆循环平移，然后求其平均值，这样便得到去噪后的信号。

3 基于新阈值函数的平移不变小波去噪

当α=0时，函数为多项式插值法，形式与硬阈值法近似相同;当α=1时，函数形式近似与软阈值法形式相同。以上方法使得到的在整个定义域内都是连续且可导的，克服了硬阈值折衷法不连续性，软阈值法导数不连续的缺点。通过合理调整α的大小最小。本文将该新阈值法应用于平移不变小波的去噪中，通过仿真实验对该方法的效果进行了验证。

图4 新阈值函数Fig.4The new threshold function

4 信号采集与仿真处理

为了验证提出新方法的有效性，在海军某陆战旅实验场，使用串口输出加ADSP-BF532处理器为核心构建一嵌入式系统，对某型装甲车匀速行驶时进行了火控系统的动态测试与数据采集，行驶速度为20 km/h，驾驶员加测试人员共3名，采样频率为10 kHz，得到了5组原始信号。经计算分析，挑选其中信噪比为9.7523的1组数据进行去噪试验。分别采用软阈值函数法、硬阈值函数法、新阈值函数法、基于硬阈值的循环平移小波法、基于软阈值的循环平移小波法与基于新阈值的循环平移小波法共6种方法，在Matlab下利用sym 8小波基对原始信号进行去噪处理，为更好地消除Pseudo-Gibbs现象，采用完全平移不变去噪法，令平移范围H为:

其中，N为原始信号长度。

然后，对比各方法去噪后的信噪比SNR与均方误差MSE。

信噪比定义为:

由仿真结果可见，基于新阈值的循环平移小波法的去噪效果优于基于软阈值的循环平移小波法，效果与基于硬阈值的循环平移小波法相当;传统阈值去噪法中也是新阈值函数法效果最好。这说明基于新阈值的循环平移小波法去噪后的信号更接近与原始有用信号。此外，应用上述方法对其他4组采集数据进行去噪处理，同样取得了良好的效果。

5 结语

针对传统小波阈值法的不足，将新阈值函数法与小波循环平移法相结合，使循环平移法去噪效果更好，并用该法对测试系统采集的火控系统信号进行了去噪试验。结果表明，该方法相对传统阈值法，有效地提高了信噪比，降低了均方误差，很好地抑制了Pseudo-Gibbs现象，使去噪后的信号更加逼近于原始的有用信号。其缺点是算法复杂度为O（Nlog2N）［4］，计算速度没有传统阈值法快，但也是可以接受的，为工程提供了1种实用的方法。

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