关于ℱ－可补子群的一个注记

张雪梅，李长稳

（1盐城工学院基础部，盐城224003；2徐州师范大学数学科学学院，徐州，221116）

关于ℱ－可补子群的一个注记

张雪梅1，李长稳2

（1盐城工学院基础部，盐城224003；2徐州师范大学数学科学学院，徐州，221116）

设G是一个有限群，F是一个群系，称群G的一个子群H 在G中F－可补的，如果存在G的一个子群T，使得G＝HT且（H ∩T ）HG／HG包含在G／HG的F－超中心Z∞F（G／HG），利用F－可补子群研究有限群的p－幂零性，推广和统一了一些已知的结果。

F－可补子群；p－幂零性；Sylow子群

本文中所有的群都是有限群。群G的一个子群H称为在G中可补充的，如果存在G的子群T，使得G＝HT。近年来，许多学者利用特殊的补子群获得了可解群和超可解群方面的大量成果，如王燕鸣引入的c－正规子群［1］和c－可补子群［2］；2007年lsheik Ahmad A Y A［3］等给出的UC－正规子群作为上述一系列子群的推广，郭文彬［4］又提出了F－可补子群。

利用F－可补子群的特性，文献［4］中给出了一个群属于给定的群系的若干判别准则。本文在文献［4］的基础上，继续对F－可补子群对p－幂零群的影响作一些探讨。

本文主要利用Sylow子群的极大子群的F－可补性给出了有限p－幂零群的一个新的判别准则，同时推广到商群中去。由于F－可补子群比c－正规子群以及c－可补子群弱，本文的研究结果包含了前人在p－幂零群方面的一些研究工作，而且改进了他们的证明方法和技巧。

1 预备知识

定义1 设F是一个群系。如果G有一个子群K∈F，使得G＝HK，则称H在G中有F补充T。

定义2［4］称群G的一个子群H在G中F－可补的，如果存在G的一个子群T，使得G＝HT且（H ∩T）HG／HG≤∞F（G／HG）。

引理1［4］设G是一个群，H≤K≤G，则下列断言成立：

（1）如果H在G中F－可补且F是子群闭的，则H在K中F－可补；

（2）如果H◁G，则K在G中F－可补当且仅当K／H在G／H中F－可补；

（3）如果H◁G，则对于每个在G中F－可补的且满足（｜H｜，｜E｜）＝1的子群E，有EH／H 在G／H 中F－可补。

引理2 设F是群系，H在G中有F补充。

（1）如果N◁G，则HN／N在G／N中有F补充。

（2）如果H≤K≤G且F是子群闭的，则H在K中有F补充。

引理3［5］设G是一个有限群，p是一个素数，满足（｜G｜，p－1）＝1。

（1）如果G有一个循环Sylow p－子群，则G是p－幂零群。

（2）如果N是G的阶为p的正规子群，则N≤Z（G）。

引理4［6］设G是一个有限群，p是一个素数，满足（｜G｜，p－1）＝1。如果P的每个极大子群在G有p－幂零补充，则G是p－幂零群。

引理5［7］设G是一个有限群，p是一个素数。如果G有一个极大子群M和一个正规p－群P满足G＝PM，则P∩M是G的正规子群。

2 主要结果

定理1 设F是所有p－幂零群构成的群系，p为群G的阶的素因子且满足（｜G｜，p－1）＝1。如果G的Sylow p－子群P的所有在G中没有p－幂零补充的极大子群在G中F－可补，则G是p－幂零群。

证明：假设定理不成立，G为极小阶反例。

（1）Op′（G）＝1。

假设Op′（G）≠1。

因为P是G的Sylow p－子群，所以有POp′（G）／Op′（G）是G／Op′（G）的Sylow p－子群。如果｜POp′（G）／Op′（G）｜≤p，则由引理3，G／Op′（G）是p－幂零的，从而G是p－幂零的，矛盾。

因此，可设｜POp′（G）／Op′（G）｜＞p。

设 M1／Op′（G）是 POp′（G）／Op′（G）的任一极大子群，则

M1＝ M1∩POp′（G）＝（M1∩P）Op′（G）。再设P1＝M1∩P，因为

p＝｜POp′（G）／Op′（G）：M1／Op′（G）｜＝｜POp′（G）：（M1∩P）Op′′（G）｜＝｜P：M1∩P｜＝｜P：P1｜，

所以P1是P的极大子群。由引理1和引理2知：M1／Op′（G）在G／Op′（G）中或者有p－幂零补充或者F－可补。G／Op′（G）满足定理的假设。由G的选取知G／Op′（G）是p－幂零的，从而G是p－幂零的，矛盾。

（2）Op（G）≠1。

由引理3知，P的任意极大子群不是单位元。如果P的每个极大子群在G中有p－幂零补充。由引理4知，G是p－幂零的，矛盾。因此存在P的一个极大子群H在G中没有p－幂零补充。于是由定理假设，存在G的一个非p－幂零子群T，使得G＝HT且（H∩T）HG／HG≤Z∞F（G／HG）。如果Op（G）＝1，则HG＝1，从而H∩T≤Z∞F。

假设Z∞F（G）＝1，则H∩T＝1，从而｜T｜p＝p。由引理3知，T是p－幂零的，矛盾。因此，可以取包含在Z∞F（G）中的G的一个极小正规子群N。由（1）知，N不是p′－群，故N是p阶群。由引理1和引理2，P／N的每个极大子群在G／N中或者有p－幂零补充或者F－可补。G／N满足定理的条件。由G的选取知，G／N是p－幂零的。由引理3知，N≤Z（G），从而G／Z（G）是p－幂零的。于是G是p－幂零的，矛盾。

（3）导出矛盾。

设N是包含在Op（G）中的G的一个极小正规子群。显然N是初等交换p－群，且G／N满足定理条件。由G的极小选择有G／N是p－幂零的。

由于p－幂零群系是饱和群系，故N是包含在Op（G）中的G的唯一极小正规子群且N不包含在Φ（G）。进一步，存在G的极大子群M，使得G＝NM且M≅G／N是p－幂零的。

由引理知：Op（G）∩M◁G，故Op（G）∩M＝1，从而N＝Op（G）。设P1是P的任意极大子群，将证明P1在G中有p－幂零补充。否则由定理条件，存在G的一个非p－幂零子群T，使得G＝P1T且（P1∩T）（P1）G／（P1）G≤Z∞F（G／（P1）G）。如果（P1）G≠1，则 N≤（P1）G≤P1，从而P1在G中有p－幂零补充M，矛盾。因此可假设（P1）G＝1，于是P1∩T≤Z∞F。类似（2）中的讨论，有T是p－幂零的，矛盾。既然P的每个极大子群在G有p－幂零补充，由引理4知G是p－幂零群，矛盾。

推论1 设G为有限群，p为｜G｜的最小素因子。假设G有一个Sylow p－子群P使得P的每个极大子群在G中c－正规，则G是p－幂零的。

推论1 为文献［8］的定理3.4。

推论2 设G为有限群，p为｜G｜的最小素因子。假设G的每个Sylow p－子群的极大子群在G中c－可补，则G是p－幂零的。

推论2为文献［9］的定理3.2。

推论3 设P是G的一个Sylow p－子群，其中p是｜G｜的一个素因子，满足（｜G｜，p－1）＝1。如果P的每个极大子群在G中c－可补，则G是p－幂零群。

推论3为文献［10］的定理3.1。

推论4 设P是G的一个Sylow p－子群，其中p是｜G｜的一个素因子，满足（｜G｜，p－1）＝1。如果P的每个极大子群在G中c－可补且G是Cp′群，则G／Op（G）是p－幂零群。

推论4为文献［11］的定理3.2。

定理2 F设是所有p－幂零群构成的群系，p为群G的阶的素因子且满足（｜G｜，p－1）＝1。如果存在G的一个正规子群N，使得G／N为p－幂零群，并且N的Sylow p－子群P的每个极大子群在G中要么有p－幂零补充，要么F－可补，则G是p－幂零群。

证明：由引理1和引理2知，N的Sylow p－子群P的每个极大子群在N中要么有p－幂零补充，要么F－可补。

由定理1知，N是p－幂零群。设Np′是N的正规Hall p′－子群，则Np′△G且G／N≅ （G／Np′）／（N／Np′）是p－幂零的。P Np′／Np′是N／Np′的Sylow p－子群。P Np′／Np′的极大子群可表示为P1Np′／Np′，其中P1是P的某个极大子群。

由引理1和引理2知，P1Np′／Np′在G／Np′中要么有p－幂零补充，要么F－可补。G／Np′满足定理条件。若Np′≠1，由归纳得G／Np′是p－幂零群，从而G是p－幂零群。设Np′＝1，即N＝P。由G／N为p－幂零群，可设K／N是G／N的正规p－补。由Schur－Zassenhaus定理知，存在K 的 Hall p′－子群Kp′，使得K＝NKp′。由定理1知，K是p－幂零的。又K的正规p－补Kp′也为G的正规p－补，故G为p－幂零的。

［1］Wang Y.c－Nor mality of groups and its properties［J］.J Algebra，1996，180：954－965.

［2］Wang Y.Finite groups with some subgroups of Sylow subgroups c－supplemented［J］.J Algebra，2000，224：467－478.

［3］Alsheik Ahmad A Y，Jaraden J J，Skiba A N.On UC－Nor mal subgroups of finite groups［J］.Algebra Colloq，2007，14（1）：25－36.

［4］Guo W.On F－supplemented subgroups offnite groups［J］.Manuscripta Math，2008，127：139－150.

［5］Wei H，Wang Y.On c＊－normality and its properties［J］.J Group Theory，2007，10：211－223.

［6］Guo W，Xie F，Li B.Some open questions in the theory of generalized per mutable subgroups［J］.Science in China Series A，2009，52（10）：2132－2144.

［7］Wang Y，Wei H，Li Y.A generalization of Kramer＇s theorem and its application［J］.Bull.Austral Math Soc，2002，65：467－475.

［8］Guo X，Shum K P.On c－nor mal maximal and minimal subgroups of Sylow p－subgroups of finite groups［J］.Arch Math，2003，80：561－569.

［9］Guo X，Shum K P.Finite p－nilpotent groups with some subgroups c－Supplemented［J］.J Aust Math Soc，2005，78：429－439.

［10］Guo X，Shum K P.On p－nilpotency of finite groups with some subgroups c－supplemented［J］.Algebra Colloq，2003，10（3）：259－266.

A Note on F－supplemented Subgroup

ZHANG Xuemei1，LI Changwen2
（1 Department of Basic Sciences，Yancheng Institute of Technology，Yancheng，224003；2 School of Mathematical Science，Xuzhou Normal University，Xuzhou，221116，Chan）

Let G be a finite group and Fa formation of finite groups.A subgroup H of G is F－supplemented in G if there exists a subgroup T of G such that G＝HT and（H∩T）HG／HGis contained in the F－hypercenter Z∞F（G／HG）of G／HG.In this paper，we use F－supplemented subgroups to study p－nilpotency of finite groups.A series of previously known results are unified and generalized.

F－supplemented subgroup；p－nilpotent；Sylow subgroup

O152

A

1007－7383（2011）03－0381－03

2010－10－12

国家自然科学基金项目（11071229），江苏高校自然科学基金项目（10 KJD110004）

张雪梅（1978－），女，讲师，从事代数研究；e－mail：x mzhang807＠sohu.co m。