角速度能表示速度方向变化快慢吗?

龚劲涛 魏 标

(绵阳师范学院物理与电子工程学院,四川绵阳 621000)

本刊2010年第3期刊登了“向心加速度表示速度方向变化的快慢吗?”一文,以下简称文[1],该文认为“向心加速度不能反映速度方向变化的快慢,而角速度才是反映速度方向变化快慢的物理量”.同时持这一观点的还有其他一些文献[1-4].对此,笔者难以认同,我们认为用角速度作为反映速度方向改变的物理量是不恰当的,理由如下:

(1)不符合牛顿第二定律.引起速度改变的原因是力,当有力作用在物体上时,物体速度的大小和方向就会发生改变.若力的方向与运动方向恰好一致,则只改变速度的大小,若力的方向与运动方向垂直,则只改变速度的方向.当物体受到一个大小不变而方向总指向圆心的向心力时,它就做匀速圆周运动,此时向心力的作用只是改变物体的速度方向,不改变速度大小,且力越大,速度方向改变就越快,力的方向就是速度方向改变的方向.而加速度正是由力产生的,因此,用由向心力产生的向心加速度作为描述速度方向改变快慢的物理量是顺理成章和符合运动本质的.而力与角速度无关,如果用角速度表示速度方向的改变快慢,则违背了牛顿第二定律力是物体运动状态发生改变的原因这一论述.

(2)不符合物理知识自身的逻辑体系.速度和加速度都是为描述物体做机械运动所建立的物理概念,除此之外还有位矢和位移等概念,这些物理量之间存在着明确的上下位逻辑关系.其中位矢r表示物体的空间位置,位移Δr表示物体空间位置的改变,速度v反映物体空间位置变化的快慢(或运动快慢),而加速度a则是则反映物体速度的变化快慢,他们之间的逻辑关系可用数学关系式表达为:

由此不难看出,这些物理量在逻辑上是逐级递进而有序的,彼此之间有着明确的上下位层级关系,其中速度是加速度的上位概念,加速度是速度的下位概念.而角速度 ω的本质仍然是速度,不过是用角量来描述物体空间位置变化快慢(运动快慢)的,与线速度 v属于同一级概念,其他的角量还是角位置θ、角位移Δθ、角加速度 β,他们分别对应位矢 r、线位移Δr、线加速度 a.因此无论是角速度还是线速度都是反映物体空间位置改变快慢的物理量,而加速度则是反映速度变化快慢的物理量.如果用角速度的大小来表示线速度方向的变化快慢,即用一种形式的速度来反映另一种形式的速度方向变化快慢,显然打乱和破坏了物理概念之间的逻辑结构,同时也使角速度的物理意义失去了确定性和唯一性.而且角速度也是矢量,如此说来角速度的方向又如何与线速度方向的改变方向关联起来?

(3)质点速度方向的改变并不是由角度变化能单一确定的.文[1]及相关文献认定“角速度才是反映速度方向改变的物理量”的原因主要基于以下2点:(1)与某一位置(轴)的夹角可以反映物体的方向,所以角度的变化反映方向的改变;(2)做圆周运动的物体,无论半径大小,只要角度变化快慢一致(也即角速度ω相同),则他们速度方向的改变快慢就相同.而加速度 a=rω2与半径有关,所以不能正确反映速度方向的改变.

首先分析(1),我们知道在物理学中物体的空间方位既可以以矢量形式:r=xi+yj+zk表示,也可以通过说明质点距参考点的远近和与 3条坐标轴的方向余弦(cosα,cosβ,cosγ)来反映.而只用与某一位置(轴)的夹角来确定方向是没有唯一性的,除非首先确定物体在什么平面内运动,再用与参考轴的夹角来表示它的方向才具有确定性.因此只用一夹角表示方向不具有普遍性.

其次,有角速度存在并不意味着速度方向发生改变.如图1所示,一质点在xOy平面上沿图示方向做匀速直线运动,方向虽然不变却有角速度存在,显然这里的角速度并不能反映速度方向的变化快慢.

图1

图2

第三,角速度相同但速度方向的改变快慢不同.如图2所示,两质点都在做匀速圆周运动且角速度 ωA=ωB,经时间Δt,质点1从 A 运动到A′,位移Δr为A指向A′的有向线段.质点2从B 运动到B′,位移Δr′为B 指向B′的有向线段,因质点距参考点0的远近未发生变化,所以位移的大小Δr、Δr′反映的是质点空间位置的方向改变大小,由于质点2运动半径大,所以Δr′＞Δr,表明质点2位置方向的改变程度在大于质点1,又因发生这一改变的时间相同(角速度 ωA=ωB),所以质点2方向改变比质点1方向改变快.由此得出质点2速度方向变化快于质点1.但文[1]却认为此种情况下角速度ω相同,所以两者速度变化快慢一致,并由此认定向心加速度不能反映速度变化的快慢.显然这种认识的根源在于将角度的改变等效为运动方向的改变,它不仅混淆了角速度的物理意义,也违背了矢量的运算法则.因为空间位置的改变量(位移)不仅与转过的角度有关,还与运动半径的大小有关.

第四,向心加速度是反映速度方向变化快慢的物理量.

如图3所示,一做圆周运动的质点在 A点的速度为v1,经Δt时间后在B点的速度为v2,故从 A到B速度的变化量为Δv=v2-v1,如图4所示在 AC上截取AD=AB,所以Δv=BC=BD+DC=Δv1+Δv2,若速度只有方向改变而大小不变,Δv=Δv1=BD,所以 Δv1=BD是由速度的方向改变而引起的变化量.若速度只有大小改变而方向不变,Δv=Δv2=DC,所以Δv2=DC是由速度的大小改变而引起的变化量,因此

其中 aτ是由速度大小的改变Δv2引起的加速度,反映速度大小改变的快慢,当角度 α→0时,aτ的方向指向圆周切线,称为切向加速度;an是由速度方向的改变Δv1带来的加速度,反映速度方向改变的快慢,当角度α→0时,an的方向与切线垂直指向法向方向,称为法向加速度.因此做变速圆周运动的质点既有切向加速度,也有法向加速度.而对于匀速圆周运动,因为速度大小不变,所以 aτ=0,只有an,又因为｜Δv1｜=BD,｜v1｜=｜v2｜=v,OA=OB=R,所以

由于an方向沿法向总指向圆心,所以又称为向心加速度,反映方向改变的快慢.

图3

图4

综上所述,我们认为角速度不能作为表示速度方向改变快慢的物理量,而向心加速度才是反映改变速度方向变化快慢的物理量.

1 马宇澄.向心加速度是描述速度方向变化快慢的物理吗.物理教师(高中版),2001(6).

2 司德平.向心加速度是描述速度方向变化快慢的物理吗?中学物理(高中版),2009(11).

3 王峰.圆周运动加速度的物理意义——向心加速度的误解分析.物理教学探讨,2006(8).

4 陈卫东,李俊.顺理不一定成章—向心加速度是描述速度方向变化快慢的物理量吗?中学物理教学参考,2005(4).