一类算子在非倍测度的广义Morrey空间上的有界性

郑涛涛,张松艳

(1.宁波大学 理学院,浙江 宁波 315010;2.浙江科技学院 经济管理学院,杭州310023)

1 引言及主要结果

在经典调和分析中,一个关键的假设是测度μ满足双倍条件。所谓测度μ满足双倍条件是指存在某个常数C＞0,使得对任意的 x∈supp(μ)及r＞0,有 μ(B(x,2l))≤Cμ(B(x,l)),其中B(x,r)={y∈Rd:|x-y|＜r}。1998年,Nazarov,Treil和Volberg[1]给出了在非双倍条件下有关Calderón-Zygmund算子的理论,且最近几年的研究[2-3]表明,定义在欧氏空间Rd上的非负Radon测度μ不满足双倍条件而仅满足增长性条件时,许多经典的结果仍然成立。增长性条件即存在常数C0＞0,使得对任意的x∈Rd,l＞0有

n为固定的数且0＜n≤d。如果欧氏空间Rd上赋予的非负Radon测度μ仅满足增长性条件,则称此空间为非齐型空间。本文研究了非齐型空间(Rd,μ)上的多线性Calderón-Zygmund算子的有界性。

定义于Schwartz函数空间的m重乘积,取值于缓增分布空间的m-线性算子T:

T带有一个(Rd)m+1空间上的分布核K(x,y 1,…,ym),其中K(x,y1,…,ym)是定义在(Rd)m+1{x=y1=y2… =ym}上,称K是一个m-CZK(A,ε)核,假如它满足下面的尺寸条件:当{x,y1,…,ym}∈(Rn)m+1且x不等于某个y j(1≤j≤m)时,

并且满足正则性条件:

其中A＞0和ε∈(0,1]是2个常数。

若存在q1,q2,…,qm,q∈[1,∞)(其中1/q=∑mk=11/qk)使得T是Lq1(Rn)×Lq2(Rn)×…×Lqm(Rn)→Lq(Rn)的有界算子,且对于L2(Rn)中的函数 f 1,f 2,…,f m有

成立,其中f j(j=1,2,…,m)是具有紧支集的光滑函数且称 T是以K为核的多线性Calderón-Zygmund 算子 。

当m=1时,算子T就是经典的Calderón-Zygmund算子。当m ≥2时,Grafakos和Torres在文献[4]中考虑了当1≤q1,q2,…,qm＜∞时,算子T在空间Lq1(Rn)×Lq2(Rn)×…×Lqm(Rn)上的性质,并建立了这类算子的T1型定理。

最近,Y.Sawano[5]引入非倍测度的广义Morrey空间并证明了Calderón-Zygmund算子在该空间上的有界性,本文在此基础上证明了多线性Calderón-Zygmund算子在非倍测度的广义Morrey空间上的有界性。

本文中所有方体Q⊂Rd均指各边平行于坐标轴的闭方体并记其边长为l(Q),中心为xQ,C为常数,A(μ)为所有满足μ(Q)＞0的方体的全体。

定义 设1≤p＜∞,φ:(0,∞)→(0,∞)是一个增函数,k＞1,广义Morrey空间Lp,φ(μ)的定义为

定理1将包含文献[5]中所证的关于Calderón-Zygmund奇异积分算子在广义Morrey空间上的有界性的结果。

2 定理的证明

不失一般性,取m=2的情况证明,m ＞2的情况完全类似。

则有

[1] NAZAROV F,TREIL S,VOLBERG A.Weak typeestimates and Cotlar inequalities for Calderón-Zygmund operators in nonhomogeneous spaces[J].Internat Math Res,1998(9):463-487.

[2] TOLSA X.BMO,H1and Calderón-Zygmund operators for non-doubling measures[J].Math Ann,2001,319(1):89-149.

[3] SHI Yan-long,TAO Xiang-xing.Multilinear risez potential operators on Herz-type Spaces and generalized Morrey Spaces[J].Hokkaido Mathematic Journal,2009,38(4):635-662.

[4] GRAFAKOS L,TORRES R H.Multilinear Calderón-Zygmund theory[J].Adv in Math,2002,165(1):124-164.

[5] SAWANO Y.Generalized Morrey Spaces for non-doubling measures.Nonlinear differ[J].Equ Appl,2008,15(4):412-425.

[6] XU Jingshi.Boundedness of multilinear singular integrals for non-doubling measures[J].J Math Anal Appl,2007,327(1):471-480.