一种解决频域盲源分离模糊度问题的新方法

桑 睿，吴 杰

（空军工程大学 电讯工程学院，陕西 西安 710077）

0 引言

针对目前盲源分离问题的研究及所提出的算法基本都是针对线性瞬时混合模型，忽略了信号传播时的延迟和滤波的情况。但是实际信号的混合大部分都是卷积混合的，所以部分算法对于实际环境中的混合信号分离效果不理想。目前针对卷积混合盲源分离所提出的算法包括两类[1]：1）采用时域的方法，基本是对于瞬时混合模型的盲源分离算法的扩展，例如文献[2]利用子空间分解思想，将信号卷积混合变换为瞬时混合。2）采用频域的方法分离。利用离散傅里叶变换（DFT）变换到频域，就将时域上的卷积混合变换到频域上的瞬时混合。接着可以利用成熟的ICA方法对混合信号进行分离。频域方法是对各个频率点独立进行处理,易出现各个频率点上的排列不一致问题和幅度模糊性问题[3]。

针对卷积混合模型上分离技术的不足，本文提出一种解决频域分离算法排列模糊性和幅度模糊性的新思想，该方法改善了分离性能，并通过仿真验证其具有较好的分离效果。

1 频域上的盲源分离

盲源分离是只利用独立信源的混合信号获得源信号的过程。独立信源的混合方式不同，分离的方法也不同。

假设混合模型为

式中：S（n）指的是离散时刻n信源的向量；A是混合矩阵；X（n）是混合后的观察向量（此时忽略了噪声）。当A是非奇异且时不变的矩阵，此时的混合模型为瞬时混合[4]。盲源分离就是通过发现一个矩阵W使得Y（n）=WX（n）=WAS（n），来分离源信号，WA趋近于单位阵。若可以使WA分解为WA=PD形式，其中P是一个正交矩阵，D是对角矩阵，则说明源信号可分离，即

由式（2）可以看出，其中P的排列情况决定了估计信号与源信号排列模糊性，D主对角线上的元素决定了幅度模糊性[5]。

假设式（1）的标量矩阵A用滤波器矩阵代替，此时的混合成为卷积混合。

首先，在t时刻有N个源信号的向量S(k)=[s1(k),s2(k),…,sN(k)]T，卷积混合后被M个接收机接收，混合信号为x(k)=[x1(k),x2(k),…,xM(k)]T，则卷积混合的模型可以用下式表示（忽略噪声矢量）

式中：amnk表示相关的混合滤波器的系数，写成矩阵形式，卷积模型可以写成

式中：Ak是混合滤波器矩阵，一个M×N的矩阵，包含了滤波器的k个系数。当k=0，该模型就成了瞬时混合模型。卷积混合模型可以用离散时间上的FIR滤波器来描述[6]

式中：n是离散时间；λk是常量系数；S(n)是滤波器输入信号；x(n)是n时刻的输出。将式（4）通过STFT变换到频域上

式（6）和式（1）形式是一样的，说明通过变换域方法确实可将时域的卷积混合模型转化为频域的瞬时混合问题。这里的A(ω,t)是频率点w上的混合矩阵。

在频域上计算输出的分离信号

式中：G(ω,t)为白化矩阵，由于频域上进行ICA之前先进行预白化；其中B(ω,t)就是频率点w的分离矩阵。通过矩阵运算最终得到

式中：P(ω,t)是频域上的正交矩阵，决定了排列模糊性[4]；D(ω,t)是对角矩阵，其对角线上的元素就决定了分离信号的幅度模糊性。再通过STFT的逆变换得到时域上的关系

整个频域盲源分离的过程如图1所示。

其基本过程可做如下说明：源信号S经过卷积混合得到观察信号X，再通过STFT变换到频域上，利用复ICA算法分离信号。频域方法是对各个频率点独立进行处理，易出现各个频率点上的排列不一致问题进而重构时会导致信号频谱的重新混迭，各个频率点上尺度模糊也会导致合成信号频谱产生畸变。因此，若不能有效解决排列模糊问题和尺度模糊问题，则会导致分离性能的下降，甚至无法分离。为了能够得到更好的分离效果，应该在ISTFT变换之前解决排列模糊度和幅度模糊度问题，最后通过ISTFT将分离信号变换到时域上，就得到了估计的源信号。

2 模糊性的解决方式

2.1 解决排列模糊性

产生排列模糊性的根源在于各个频点上的分离矩阵内部结构出现了差异[7]。当传感器的输出信号X（t）转换到频域时，它的频谱是随着频率逐渐改变的，若分解的频率点足够窄，则相邻的频率点之间的频谱就有很强的相关性。为了实现从相邻的频率点之间通过FastICA得到分离矩阵的系数且排列顺序不会有很大变化，将前一个频率点所得的分离矩阵结果作为下一个频率点的初始值。如果在频域上分解的频率点足够多，在连续的频率点上所得到的分离矩阵的内部信息将统一到一个相同的结构上，那么就可以使各个频点上的已分离信号具有一致的顺序。这样就保证了再重构信号时输出信号次序的一 致 性 。 即 使 式（8）的 正 交 矩 阵 P(ω)满 足 ：P(ωL-1)=P(ωL-2)=…=P(ω0)，计算分离矩阵的迭代过程的流程图如图2所示。

图2中：w0，w1，w2，…，wL-1是相邻的频率点；Bi是对应的频率点通过FastICA所求的分离矩阵。

2.2 解决幅度模糊性

首先，假设源信号的个数与传感器的个数一样，即M=N，假设已知在频率点w的分离矩阵是B，那么R是它的逆矩阵，即

定义一个校正矩阵F，它是一个对角矩阵，且对角线上的元素为R主对角线上的元素，即

F(ω)=diag(R(ω)) （11）

则可以变换为

Y(ω,t)=F(ω)B(ω)X(ω) （12）

通过上式就可以校正幅度问题。

3 仿真验证

将FastICA算法扩展到频域上的复值运算，得

式中：Bn为分离矩阵的第n列的向量；h（·）是一个非线性方程；h′(⋅)是它的微分[8]。

3.1 实验一

现以两输入、两输出的声音分离试验来验证所提出方法的有效性。选取ICALAB主页上的两个“.wav”文件，用8抽头的FIR滤波器卷积混叠。该实验的参数如表1所示。

表1 实验一参数设置

同时，读取声音文件：

S1=wavread('source1.wav')S2=wavread('source2.wav')

以列向量形式读入：首先利用传统的频域分离算法对两个信号分离，所得的分离结果如图3所示。

通过观察可以看出，利用传统分离算法分离出的源信号排列顺序与源信号不一致并且幅度上也存在一定模糊性。

通过提出改进的思路与方法，对源信号再次进行分离试验，所得分离信号的仿真如图4所示。

从通过改进思路所得到的仿真结果来看：分离信号的幅度与源信号幅度差异大大降低，说明幅度模糊性得到有效的解决；分离结果的输出顺序上与源信号也保持一致，也说明了排列模糊性也得到了很好的解决。通过仿真验证，所提出的改进思想可以有效地解决频域分离中幅度模糊性和排列模糊性。

3.2 实验二

任意产生3个源信号，采样频率为5 kHz，用4个传感器接收信号。采用MIMO滤波器人工卷积混合源信号，模拟多源信号经多路径混叠。

利用传统的卷积混合分离方法和文献及本文方法所得的分离情况如图5与图6所示。

由图5和图6可知，传统方法所得的分离信号存在严重的幅度畸变，最终导致无法分离。从分离效果来看，本文的方法对卷积混合的信号分离效果明显好于传统的卷积混合分离方法，有效地解决了排列模糊度和幅度模糊度问题。为了能更好地说明其分离性能，这里引入了信噪比评价准则[9]，即

式（15）体现了每个估计信号与源信号之间的误差。yk(n)表示分离后得到的信号。现以SNRn的平均值来衡量分离性能。两次实验均采用了传统频域分离算法（即不解决模糊度）和本文算法对声音信号和人工卷积的源信号进行了分离试验。图7表示了两种方法平均信噪比的变换情况。

在实验一里，本文方法将传统方法所得到的平均信噪比从15.7 dB提升到了18.4 dB；实验二，本文方法比传统方法所得的平均信噪比也高出了5.7 dB。以上实验数据说明通过本文的解决模糊度的方法来分离信号，不仅能有效地解决排列模糊性和幅度模糊性，还可以提升平均信噪比，提升分离性能。

4 小结

针对卷积信号的分离这一难点问题，提出一种解决频域分离算法排列模糊性和幅度模糊性的改进思想。经仿真验证表明，通过本文的解决模糊度的方法来分离信号，不仅能有效地解决排列模糊性和幅度模糊性，还可以提升平均信噪比，提升分离性能。

[1]许鹏飞，刘乃安，付卫红.同频同调制通信信号的卷积混合盲源分离[J].重庆邮电大学学报，2010（3）：312-316.

[2]付卫红，杨小牛，刘乃安.基于子空间分解的多通道盲解卷积算法[J].通信学报，2009（1）：25-30.

[3]刘建强，冯大政，周炜.基于多信道信号增强的卷积混迭语音信号盲分离的后处理方法[J].电子学报，2007（12）：2389-2393.

[4]WANG Weihua，HUANG Fenggang.Improved method for solving permutation problem of frequency domain blind source separation[C]//Proc.IEEE International Conterence on Industrial Informatics.[S.l.]：IEEE Press，2008：703-706.

[5]张发启，张斌.盲信号处理及应用[M].西安：西安电子科技大学出版社，2006.

[6]PEDERSEN M S，LARSEN J，KJEMS U，et al.A survey of convolutive blind source separation methods[M].New York：Springer Press，2006.

[7]张安清，章新华，邱天爽，等.基于线谱频率点的一种频域盲分离方法[J].系统工程与电子技术，2006（9）：1307-1310.

[8]BINGHAM E，HYVÄRINEN A.A fast fixed-point algorithm for independent component analysis of complex-valued signals[J].Int.J.Neural Systems，2000，10（1）：1-8.

[9]王卫华，黄凤岗.一个用于卷积混合模型的时频分析盲分离算法[J].数据采集与处理，2009（1）：67-72.