Blasius问题中剪应力函数的分析估计

黄淑娟, 杜 翠, 徐艳芝

(1.成都信息工程学院数学学院,四川成都610225;2.西南交通大学土木工程学院,四川成都610031)

1 引言

流体力学边界层理论中的三阶非线性微分方程

边界条件

称为 Blasius问题[1],被用来描述稳定不可压缩流体流过平板的情况,其中 f(η)是相似流函数,f′(η)和 f″(η)分别是速度函数和剪切力函数.问题(1)-(2)也出现在多孔介质混合对流研究中[2],多孔介质参数β=1+ε,ε=Ra/Re,其中 Ra是Payleigh数,Re是Pe′clet数.β＜0对应于平板移动速度与主流方向相反[3].

问题(1)-(2)已经被广泛的研究.Hussaini和Lakin[4]证明了存在临界值 β*∈[-1/2,0)使得当 β≥β*方程(1)-(2)至少有一个解,并且当 β＜β*无解,数值解 β*=-0.3541[4].Brighi,Fruchard和Sari[5]详细的分析了β＜0时解的情况,并给出了解的个数.

在最近的文献[6]中,Yang和陈研究了问题(1)-(2)的等价积分方程

正解 z(t)＞0(β≤t＜1)的存在性,分别得到了其临界值 β*＜-0.18733和 β*＜-0.1971.

通过研究方程(3)解的性质,获得剪切力函数 f″(η)中‖f″‖和 f″(0)的分析估计.以前的结果是数值的,f″(0)的估计在数值计算中是重要的[7].

2 方程(1)-(2)解的性质

下面的讨论,始终假定β*≤β＜0.先证明如下3个引理.

令 h(t)=gε(t)-z(t),则存在 t*∈(a,b)使得 h(t*)=max{h(t)：t∈[a,b]}.于是,h″(t*)≤0;另一方面,容易得出这是一个矛盾.于是 z(t)≥gε(t),t∈[0,1].ε的任意引导z(t)≥gε(t),t∈[0,1],这就是所要的结果.

引理3 设 β*≤β＜0,z是方程(3)的解,使得那么

由于

我们有

所以

方程对(4)从˜t到1进行积分,有

根据以上3个引理,利用 z(t)=f″(η)([6]),获得了如下结论：

定理1 设 f(η)是方程(1)-(2)的解,那么

这里 ‖f″‖=sup{f″(η)：0≤η＜∞}.

[1]H Blasius.Grenzschichten in Flussigkeiten mit kleiner Reibung[J].Zeitschriftfur Angewandte Mathematik and Physik,1908,56：1-37.

[2]E H Aly,L Elliott,D B Ingham.Mixed convection boundary-layer flow over vertical surfaceembedded in a porous medium[J].European Journal of Mechanics-B ：Fluids,2003,22(6)：529-543.

[3]P D Weidman.New solutions for laminar boundary layers with cross flow[J].Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Physik,1997,48(2)：341-356.

[4]M Y Hussaini,W D Lakin.Existence and nonuniqueness of similarity solutions of boundary-layer problem[J].The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics,1986,39(1)：15-24.

[5]B Brighi,A Fruchard,T Sari.On the Blasius problem[J].Advance in Differential Eauations,2008,13(5-6)：509-600.

[6]G C Yang.An upper bound on the critical value β*involved in the Blasius problem[J].Journal of Inequality and Applications,2010：6.

[7]T Y Na.Computational methods in engineering boundary value problems[M].New York：Academic Press,1979.