正规族与正规函数的一个注记

戚建明

（山东大学 数学学院，山东 济南 250100）

正规族与正规函数的一个注记

戚建明

（山东大学 数学学院，山东 济南 250100）

设F为单位圆盘Δ上的一族全纯函数，a和b为2个有限的复数且有b≠a，如果对任意的z∈Δ且对每个f∈F，若f=α⇒f＇=α，且f=b⇒f＇=b，则存在一正整数M且对任意的f∈F，有

亚纯函数；正规族；Nevanlinna理论

1 引言及主要结果

设C为复平面，D为C上的一区域，F为一族定义在D上的亚纯函数，如果F在D上正规，那么对于F的任意一族子列{fn}⊂F，存在子序列{fnj}在D上局部一致收敛于一亚纯函数或者∞.[1]本文不失一般性，假定D=Δ={|z |＜1}.

设f和g为区域D上的亚纯函数，a和b为2个复数，如果f(z)=a则g(z)=b，我们记

如果f (z)=a⇔g(z)=a ，则称f和g分担a在D上．最近，很多学者[2-5]研究了亚纯函数分担值的问题.

f为C上的亚纯函数，如果存在一正数M，且满足

则f被称为C-正规函数[6]601.

f为Δ上的亚纯函数，如果存在一正数M，且满足

则f被称为Δ-正规函数[6]601.

Schwick[7]研究了正规族与分担值的问题，并证明了定理A.

定理A 设F为区域D上的一族亚纯函数，并且a,b,c为3个不同的复数，如果对每个f∈F，f和f＇分担a,b,c在D上，则F在D上正规.

定理A经Pang等[8]改进得到定理B.

定理B 设F为区域D上的一族亚纯函数，并且设a,b为2个不同的复数. 如果对每个f∈F，f和f＇分担a,b在D上，则F在D上正规．

2000年，Pang[6]研究了正规族与正规函数的关系，并证明了定理C.

定理C 设F为区域D上的一族亚纯函数，并且a,b,c为3个不同的复数，如果对每个f∈F，f和f＇分担a,b,c在D上，则存在一正整数M=M(a,b,c)并且对任意f∈F，有（1-|z|2）f#(z )=

注记1 定理C表明如果亚纯函数族F满足定理C的条件，则f∈F在D上是一正规函数.

显然，定理C对于分担3个不同的有限复数是成立的；……