埃特金加速迭代法在水力计算中的应用

乔双全

(齐齐哈尔市水利勘测设计研究院，黑龙江齐齐哈尔161006)

0 引言

水力学公式多是包含多个参数的隐式非线性方程，通常需要试算。迭代法是常用而有效的方法，常用的迭代法有直接迭代法、二分法、截弦法、牛顿法等。由于水力学方程大多非线性化程度比较高，有时候这些迭代法收敛速度慢，同时还有可能迭代发散而导致死循环，从而不能奏效。鉴于这种情况，作者从实际工程应用出发，引入一种新型的迭代计算法——埃特金(Aitken)加速迭代法。埃特金(Aitken)加速法是数值分析中常用的一种迭代收敛的加速算法，可以在保证迭代精度的同时，加快收敛速度。

1 埃特金加速迭代法原理

1.1 不动点迭代法

埃特金加速迭代法属不动点迭代法的一种，首先介绍一下不动点迭代法的原理。

不动点迭代法是一种逐次逼近法，其基本思想是将隐式方程归结为一组显式的计算公式，就是说，迭代过程实质上是一个逐步显示化的过程。

不动点迭代法是将非线性方程f(x)=0，改写成等价显性形式。

选择一个初始值x0，带入(1)式，即可求得x1=φ(x0)如此反复迭代计算

Xk+1=φ(xk)(k=0，1，…) ，φ(x)称为迭代函数。若是方程的一个近似值。

1.2 埃特金加速迭代法

埃特金加速迭代法是不动点迭代法的一种加速收敛算法，用迭代公式校正1次，再校正后采用(4)式改进。

校正

再校正

改进

(4)式称为埃特金(Aitken)Δ2加速迭代方法。

2 应用实例

2.1 收缩水深hc计算

收缩水深hc是水力计算中经常试算的一个要素，计算公式形式见公式(5)，其公式是一个隐式的非线性方程，为了试算将其转化为x=g(x)的显式形式，见公式(6)。……