非因果输入的LTI系统全响应求解方法

任 蕾,薄 华,金欣磊,张韵农,陈红亮

(上海海事大学信息工程学院,上海 200135)

系统全响应可以通过分别求解系统的零状态响应和零输入响应,通过二者叠加而获得[1-5]。

而当给定系统非因果输入、系统初始条件未知的情况时,非因果输入信号中的反因果分量作用于系统,其结果转换为系统的初始条件,作用于系统后对应零输入响应;非因果输入信号中的因果分量作用于系统,其结果对应系统的零状态响应[6]。因此可无需分别求解零状态和零输入响应,系统全响应可直接求解。

本文从时域、频域和复频域三个角度,总结了已知系统全响应信号、初始条件未知情况下,直接求解系统全响应的三类主要方法。这三类方法是系统分析问题在不同域的描述形式,三者是统一的。

1 已知非因果输入直接求解全响应

1.1 问题描述

设线性时不变系统的微分方程为

式中,f(t)是系统非因果输入信号,即f(t)=f-(t)+f+(t)。其中f+(t)是输入信号的因果分量,f-(t)是输入信号的反因果分量,y(t)是系统全响应信号。

系统在初始条件下对初始时刻后的输入在初始时刻后产生的响应称为系统的全响应。零输入响应是系统在初始时刻之前的输入信号作用的结果。

1.2 时域分析方法

时域分析方法的思路是利用规范化方法,首先求解系统冲激响应,然后利用卷积技术求解系统全响应。

我们利用规范化方法确定系统的冲激响应:

其中,hx(t)是对应的规范化系统的冲激响应。

利用卷积的概念,系统全响应为