小波在结构损伤鉴定中的应用

杨海鸣 杨 帆

（深圳地铁集团有限公司1） 深圳 518026）（同济大学结构工程与防灾研究所2） 上海 200092）

近来被誉为分析信号的数学显微镜的小波变换［1］，以其在信号处理方面的强大功能，正被逐步引入到结构健康诊断中.利用模态测试识别模态参数是进行结构健康诊断的有效方法，而将小波变换应用到结构模态参数［2］上（例如模态振型），对结构进行损伤检测，为结构健康诊断开拓了一个新的研究领域.由于Fourier变换缺乏空间局部性［3－4］，因此由函数的Fourier变换只能确定其奇异性的整体性质而难以确定其奇异性的空间分布情况.也就是说当函数有许多奇点时，用Fourier变换难以确定各奇点的位置及各奇点奇异性的强弱.

1 信号奇异性与小波模极大值的关系

小波变换除了可以写成的内积形式以外，还可以写成卷积形式［5－6］，它们在本质上是一样的.下面列出卷积形式：

设h（t）是函数f（t）和g（t）的卷积，则根据傅里叶变换的性质有

若将函数f（t）看做是信号，g（t）看做是滤波器，那么，信号的导数与滤波器的卷积结果可看成是滤波器的导数与信号的卷积.例如，如果选g（t）为高斯函数，则利用其导数可以构造Morlet小波和Maar小波，因此，小波变换的突变点和极值点与信号f（t）的突变点和极值点具有对应关系，利用小波变换可以检测突变信号.具体过程如下.

设θ（t）是一个起平滑作用的低通平滑函数，且满足条件为

通常θ（t）取为高斯函数，即

假设θ（t）是二次可导的，并且定义为

则函数ψ（1）（t），ψ（2）（t）满足小波的容许条件，即

因……