浸水板式结构的动力特性与声辐射特性数值分析

施卫华，邓海华，陈 明

(武汉第二船舶设计研究所，湖北 武汉 430064)

0 引言

加筋结构是船舶与海洋工程中常采用的典型结构，也经常处于与流体接触的工作环境。通过调节板上加筋数目、加筋尺寸、加筋位置和材料参数得到不同的振动和声辐射特性，可以满足工程问题中刚度、稳定性以及强度等需要。因此研究加筋板与平板的声振特性对比可以为实际问题中提供相应的参考数据，具有重要的工程意义。同时由于流体的加载效应，触水结构的振动特性和振动响应与空气中相比有较大改变。因此研究流体特性对浸水板式结构声振特性的影响，对于舰船结构振动噪声预报有着重要的理论意义和实用价值。

对板和加筋板结构的声辐射计算目前基本上都是基于Rayleigh积分进行的［1－3］，也就是说在计算加筋板的声辐射时实际上是近似按镶嵌在无限大刚性障板中的板的声辐射来计算的。本文应用表面Rayleigh积分法，求取镶嵌在无限大刚性障板上板和板加筋结构在水中的附加质量，建立了考虑流体加载效应的流固耦合振动方程，计算板式结构振动与声辐射特性，计算对比板式结构分别处在重流体和轻流体时的固有频率和振型，并探讨了流体可压缩性对振动特性的影响。仅考虑加强筋对板的振动响应的影响，忽略加强筋对声辐射过程的影响［4］，对比分析了流体介质、流体可压缩性、激励位置、板厚、加筋方式和边界条件对板式结构的声辐射特性的影响，并得到了一些有意义的结论。

1 浸水板式结构振动声辐射计算基本理论

1.1 表面Rayleigh积分方程

对于镶嵌在无限大刚性障板上的结构，Helmholtz积分方程可以简化成Rayleigh积分形式［5－6］:

其中:p(P)为结构振动向流体域辐射的声压;格林函数G(P，Q)=e－ikr/4πr;k= ω/c为波数;ω为圆频率;c为流体介质中声速;r为P，Q两点之间的距离，Q为结构表面上任意点(源点)，P为空间中任意点(场点);ρ为流体介质的密度;为结构法向加速度。

1.2 结构流场耦合动力方程

对于板式结构振动与声场耦合问题，本文以基于Mindlin一阶剪切板理论的4节点壳单元建立结构有限元模型，采用Rayleigh积分法得到流体附加质量叠加到结构动力方程中，建立结构流固耦合方程。

边界单元与有限单元采用完全相同的划分方式，对式(1)进行数值离散，

式中:［H］为Green函数的积分矩阵。

考虑结构触水后流体对结构的加载效应，结构振动的动力方程有限元描述为［7］:

式中:［MS］和［KS］分别为结构的质量阵和刚度阵;{Ff}为表面声压所引起的流体对结构的作用力向量;{u}为结构位移向量。

以及结构表面声压所引起的流体对结构的作用力向量为:

其中:［T］为方向余弦转换矩阵;［A］为结构湿表面面积的对角矩阵，［A］= ∫S［N］T［N］dS。

将式(2)和式(4)代入式(5)可得:

将式(6)代入式(3)可得流体固体耦合运动方程:

式中:r(m，n)为场点单元与源点单元形心之间的距离;Sn为面元面积;ω'为附加质量计算圆频率［8］。当流体不可压缩时，波数k=0，Green函数的积分矩阵［H］中的元素表达式为:

由上式可知，可压缩流体的附加质量矩阵是激励频率的函数;不可压流体时的附加质量矩阵与计算频率无关。

将求得的附加质量阵［MA］代入耦合方程式(7)中，针对附加质量矩阵不对称的特点应用Lanczos-QR算法求取非对称阵的广义特征值和特征向量问题［9］。

1.3 辐射声功率和声辐射阻尼

结构的辐射声功率可由结构表面声压p(P)和表面法向速度vn(P)表示为:

将式(1)代入式(11)，并考虑速度与加速度的关系可得:

将积分表面S均分为N个面积为ΔS的面元，单元 Sn(n=1，2，…，N)上近似取 vn(P)=vn，rmn为单元Sm(P∈Sm)中心到单元Sn(Q∈Sn)中心之间的距离，方程(13)离散可得:

式中:辐射算子矩阵R的第m行第n列元素表达式如下:

采用Wallace［10］基于能量概念对声辐射阻尼的定义，假设结构处于稳态振动，振动一周内系统以声波辐射形式耗散的能量与结构振动总能量的比值即为声辐射阻尼，相应声辐射阻尼数学表达式可为［10］:

式中:ER为1个振动周期内结构向介质辐射的声能;EV为结构振动总能量;W为辐射声功率;T为结构振动周期;ω为结构振动圆频率。

假设板的材料密度和厚度分别为ρS和h且为定值，则结构振动总能量可以表示为:

其中，结构表面振动速度均方值表达式如下［11］:

2 数值算例和分析

2.1 矩形板的振动和声辐射特性

以0.6 m×0.4 m×0.004 m的四边简支板为研究对象，材料密度ρ=7850 kg/m3，结构材料弹性模量为210 GPa，泊松比取0.3;空气密度为1.29 kg/m3，空气中声速取340 m/s，水的密度取1000 kg/m3，水中声速取1450m/s。

2.1.1 附加质量计算频率对固有频率的影响

将流体视为可压缩模型时，采用不同的附加质量计算频率ω，计算出的板前10阶固有频率结果如图1所示。图1中的数据表明，在低频范围内附加质量计算频率ω的取值大小对结构的固有频率影响非常小，仅当附加质量计算频率ω增大到高频范围才有较明显的变化，因此只要在计算可压缩流体附加质量时取较低的附加质量计算频率对结果影响不大。

2.1.2 附加水质量影响系数随板厚变化

设结构无触水和触水第i阶固有频率分别为f0i和fi，第i阶模态附加水质量影响系数定义:

图1 取不同流体附加质量计算频率得出的各阶固有频率比较Fig.1 Comparison of natural frequency for different added mass frequencies

板厚分别取4 mm，6 mm，8 mm，10 mm，10 mm 和30 mm计算相同尺寸和边界条件板的附加水质量影响系数，得到附加水质量影响系数随板厚变化趋势如图2所示。

图2 简支板附加水质量影响系数随板厚的变化Fig.2 Effect of plate thickness on added mass coefficients

图2表明，随着板厚的增加，四边简支板的附加水质量影响系数均相应增加，且随模态阶数增加而呈上升趋势。由附加水质量影响系数计算式(19)可知，φi越大等同于流体加载对结构模态的影响越小。从图中可看出，板厚增大时附加水质量对板的固有频率影响减小。因而板厚是影响流体对结构作用的一项因素。同时随着模态阶数的增加，流体的动压力对板高阶固有频率影响逐渐减小。

2.1.3 可压缩性对动力特性的影响

利用编写的有限元及Rayleigh积分程序计算板在空气中和水中(可压缩和不可压2种模型)的固有频率。将空气中计算结果与推导的解析解进行比较，水中则就可压缩模型与不可压缩模型的计算结果进行比较，验证流体的可压缩性对固有频率的影响如何，可压缩模型时取附加质量计算频率为100 Hz，对比结果见图3。

将空气中板的固有频率计算结果与解析解进行对比，表明程序计算结果精度是可靠的，而水中的结果显示可压缩与不可压缩流体模型下计算出的板的各阶固有频率相差很小，表明流体的可压缩性对结构的固有频率影响亦是极其微小的。因此可以说，在分析结构流固耦合自由振动频率时，把流体视为不可压缩是合理的。

固有频率是求解结构动力方程特征值问题得到的，与固有频率相对应的是结构的固有振型。若不考虑重根问题，固有频率与振型为一一对应关系。图4给出了四边简支板分别在空气中与不可压流体模型中的前10阶固有振型图。可以看出，四边简支板在不可压流体中的振型与空气中除了第5阶、6阶和9阶相位相反之外，几乎没有变化，连振型顺序也没有改变。

2.1.4 可压缩性对声辐射特性影响

如图5所示，若在平板上A(0.32，0.20)点加载交变幅值大小为1 N的简谐激励，计算在该激励作用下水中平板的辐射声功率与声辐射阻尼。流体模型分别取可压缩与不可压缩2种，本文只在结构模态计算的意义上考虑流体是否可压而并非针对计算其声辐射特性。所以本文讨论方式是假设流体可否压缩前提下计算出板的表面法向振速，然后在可压缩模型下计算辐射声功率与声辐射阻尼，结果见图6和图7。本文计算中结构的参考声功率取为10－12W。

图6与图7两种流体模型下的声功率和声阻尼就曲线上看几乎重合。因而可以认为流体的可压缩与否对结构声辐射特性的影响是可以忽略的，在接下来的计算中，本文仅以不可压缩流体模型为例。

2.1.5 激励位置对声辐射阻尼影响

如图 5所示，在平板表面点 A(0.32，0.20)，B(0.12，0.08)和C(0.20，0.16)处分别单独作用交变幅值大小为1 N的简谐激励，计算3个激励位置的声辐射阻尼如图8和图9所示。

激励点A，B和C分别处于板的正中、边缘和靠近中点3个位置。从图8和图9可以看出，在低阶范围内(空气中f＜100 Hz，水中f=40 Hz)，不同激励位置下的声辐射阻尼曲线基本重合;激励频率逐渐增大时(空气中 100 Hz＜f＜300 Hz，水中 40 Hz＜f＜200 Hz)，图中A点(板的正中)产生的声辐射阻尼明显大于其他激励位置产生的阻尼。本文定义声辐射阻尼为结构向外辐射能量的能力，则图中曲线反映出在这一激励频率范围内，激励位置越靠近板的中心辐射出的能量就越强;若激励频率继续增大，辐射阻尼的变化变得更加复杂，因而激励位置的选取对于声辐射阻尼的影响很大。

2.1.6 板厚对声辐射特性的影响

为探讨弹性板板厚对辐射阻尼的影响，如图5所示，选择激励位置为A(0.32，0.20)，激励力为幅值大小1 N的简谐激励，模型其他参数不变。板厚分别取为3 mm，4 mm和5 mm，计算3种板厚下空气中及水中的声辐射阻尼，结果如图10和图11所示。

图10和图11反映出在一定频率范围内(主要为一阶固有频率之前)，声辐射阻尼的大小随板厚增加而递减，但此后的趋势有所变化。图10为空气中的声辐射阻尼随板厚变化。从一阶的峰值分析，随着板厚的增加，空气中板的声辐射阻尼峰值呈递减趋势。相反，水中板的声辐射阻尼峰值随着板厚的增加而增加。当激励频率较大时，声辐射阻尼的变化趋势更加复杂，可见板厚对结构声辐射的特性有一定影响。

2.2 矩形加筋板振动和声辐射特性

2.2.1 加筋方式对振动和声辐射特性的影响

在之前的四边简支板基础上，采用3种不同的加筋方式，如图12所示。加筋尺寸参数:高度为40 mm，厚度为4 mm。材料和物理参数与矩形板相同。具体加筋方式为:

①横向加筋(Y)，沿坐标轴Y向在X=0.20 m和X=0.40 m处加筋;

②纵向加筋(X)，沿坐标轴X向在Y=0.12 m和Y=0.28 m处加筋;

③双向加筋(XY)，同时采用以上2种加筋。

分别计算不可压水中上述3种形式的四边简板加筋结构的固有频率，与四边简支板的固有频率进行对比，如图13所示。可以看出，3种加筋方式对固有频率的提高起到的效果为:双向加筋＞纵向加筋＞横向加筋。图14中是3种板加筋结构的附加质量系数。从图中可以得到以下结论:将横向加筋方式与不加筋板的附加水质量系数对比，加筋后某一阶固有频率的附加水质量系数可能增大也可能减小;不同加筋方式对某一阶固有频率的附加水质量系数的影响也是不确定的。

激励点选在如图5所示的A(0.32，0.20)点上，加载交变幅值大小为1 N的简谐激励，分别计算空气和不可压水模型中在该激励作用下加筋板的表面均方速、辐射声功率与声辐射阻尼，如图15～图20所示。

图14 水中加筋板的附加水质量系数Fig.14 Comparison of the added mass coefficients of different types of stiffener

对结构来说，加筋可以提高相应的各阶频率，能有效减小结构振动响应。而不同的加筋方式对结构固有频率的提高效果也是有所差异的。从图15～图20中观察第1个峰值处对应的一阶频率，均同样可以看到:第1种加筋方式(短边方向加筋)对板结构的固有频率提高贡献最小;沿长边方向加筋的效果则较好;而双向加筋能大幅度提高板结构固有频率。

图15和图18分别为空气中和不可压水中加筋板的均方速。从图中可以看到，由于双向加筋有效地提高了板式结构的一阶固有频率，空气中0 Hz＜f＜400 Hz和水中0 Hz＜f＜150 Hz板均方速明显小于另外2种加筋方式，对结构振动的控制起着较为有效和良好的作用。

图16为空气中加筋板的声辐射功率。由于一阶固有频率的提高和均方速的降低，双向加筋的低频辐射声功率大幅度降低。因此加筋是减少空气中板的声辐射的有效方法。图17为空气中加筋板的声辐射阻尼。文中应用的声辐射阻尼定义反映的是结构向外辐射的能力，从图17中同样可以看出双向加筋有效地降低了噪声辐射。

不可压水中的声辐射功率和声辐射阻尼分别如图19和图20所示。从图中可以看出，加筋方式的变化对声辐射功率和阻尼的影响并不如在空气中的影响效果显著。这是由于水的特性阻抗远大于空气的特性阻抗，水中的声辐射阻尼远大于空气中的声辐射阻尼。因此可以说，加筋并不是减少水中板式结构低频辐射噪声的有效方法。

2.2.2 流体介质对声辐射特性的影响

激励点选在图5所示的A(0.32，0.20)点上，分别将空气和不可压水中的双向加筋板的声辐射功率和声辐射阻尼进行对比。如图22所示，水中加筋板的声功率较大。从图23中可以看到空气中声辐射阻尼与水中相比，小到贴近X轴，重流体中声辐射阻尼远大于轻流体中声辐射阻尼。

2.2.3 边界条件对声辐射特性的影响

图21 空气和水中加筋板的均方速Fig.21 Mean square velocity of the stiffener panel

以图12双向加筋方式为例，对比分析加筋板在空气中和不可压水中的振动特性和声辐射特性。激励点同样选在图5所示的A(0.32，0.20)点上。可以看到，边界条件由四边简支改为四边刚固后，由于基频的后移，空气中0 Hz＜f＜480 Hz和水中0 Hz＜f＜220 Hz之间板的均方速和声功率有一定的减小，如图24，25，27和28所示，但之后的均方速和声功率曲线无明显趋势。如图26和图29所示，四边刚固辐射阻尼在空气中0 Hz＜f＜530 Hz和水中0 Hz＜f＜260 Hz低频区与四边简支有一定的降低，但之后一段频率区反而增大了。

图29 水中加筋板的声辐射阻尼Fig.29 Radiation damping of the stiffener panel(in water)

3 结语

本文对镶嵌在无限大刚性障板上的板式结构动力和声辐射特性的数值计算表明:

1)计算可压缩流体附加质量时取较低附加质量计算频率对结果影响不大;流体介质的可压缩性对结构动力和声辐射特性的影响极微小。

2)板厚增大时附加水质量对板的固有频率影响减小。同时随着模态阶数的增加，流体的动压力对板高阶固有频率影响逐渐减小。对于四边简支板来说，流体的作用并不改变前十阶振型形状和顺序。

3)加筋能明显提高板振动频率。加筋后某一阶固有频率的附加水质量系数可能增大也可能减小;不同加筋方式对某一阶固有频率的附加水质量系数的影响也是不确定的。

4)结构在第一阶共振区域的辐射阻尼最大，且远大于其他各处峰值;激励位置越靠近板的中心辐射出的能量就越强，声辐射阻尼越大，而且随着激励频率的增大，辐射阻尼的变化变得更加复杂，因而激励位置的选取对于声辐射阻尼的影响很大;声辐射阻尼受板厚影响较大，且在空气中和水中的变化趋势有所不同;四边刚固与四边简支相比，低频区辐射阻尼有一定的降低，但之后一段频率区反而增大了;复杂的加筋方式能减小振动并在一定程度上降低辐射声功率，但是在声辐射阻尼方面较难控制。

5)水的特性阻抗远大于空气的特性阻抗，重流体中声辐射阻尼远大于轻流体中声辐射阻尼。因此可以说，加筋并不是减少水中板式结构低频辐射噪声的有效方法。

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