叠层板状结构的非线性振动特性分析★

付 超

0 引言

工程实际中存在着大量的流固耦合振动现象，是设计和应用时必须考虑的重要因素。流固耦合力学的重要特征就是固—液两相介质之间的交互作用，并通过其耦合面的变形和协调关系体现于控制方程中。

1 模型的建立

核反应堆中的叠层板元件是由多层薄窄板叠合而成，相邻板间一般仅有毫米级的间隙供冷却剂流过。本文采用一个置于刚性矩形槽的两端简支板状结构模型进行模拟，并在板的中间位置设置弹簧支承。如图1所示，板只在xoz平面内振动。

流体以平均流速U0，从A端流入，B端流出。并假设:

2)各板在流场中自由振动时横向振型完全相同;

3)流体为x和z方向流动的二维不可压缩无粘性流体。

2 理论分析

若假定各板具有相同的相位和振幅，根据经典小薄板弹性理论可得到流体动压力的表达式:

其中，EI为单块板的抗弯刚度;y为板的横向位移;m为单位面积上板的质量;p为板上、下表面的压力差。

考虑势流理论，流致振动的运动方程可表示为:

其中，Mc为流道内流体单位长度的质量;U为流体沿叠层板状结构长度方向的流速。

将式(2)代入式(1)，流致振动控制方程可表示为:

受振荡流的影响，假定速度U为:

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其中，ε为微小量;v为频率参数。

在板的中间支承处添加弹簧支承，并考虑阻尼系数的影响，则板状结构的流致振动控制方程为:

其中，EI为板的抗弯刚度;m为板的单位长度质量;c0为结构阻尼系数;δ为DIRAC函数;K0为弹簧的线性刚度系数;K1为非线性刚度系数;y为板的共同振幅。运用RITZ-GALERKIN离散化方法，将式(5)离散化，可假设:

其中，φj(x)=Asin(jЛ/L)

考虑模态的对称与反对称性，取两个自由度，即N=2。将式(6)代入式(5)，再利用主振型的正交性，在方程两边同时乘以φj(x)=Asin(jЛ/L)，j=1，2，并沿板长取(0，L)进行积分，将式(4)代入方程，整理得到:

其中，d1=m+Mc;c1=c0/d1;d2=16McU/(3Ld1);d3=EIЛ4/(L4d1);K2=2K1/(Ld1);d4=McU20Л2/(L2d1)。当结构阻尼和刚度系数较小时，可设:c1=ε×c，K2=ε×K3。

根据多尺度理论方法，首先假设考虑基本参数共振:

其中，σ为调谐参数，只取一阶近似值。令T0=t，T1=εt，并同时引进算子:

将式(8)～式(11)的关系方程代入式(7)，整理并消去违背保守系统机械能守恒的物理定律的永年项后，得到自治微分方程:

由式(12)可见，非线性刚度项没有直接作用在振幅上，而是通过相位间接影响振幅。另若假定a=ψ1=b=ψ2=0，可得其一阶振幅的定常解为:

式(13)中由于幅值必须是一个大于零的实数，只需考虑振幅a满足条件，即要求 d24≥c2ω21。即:ε≥c1ω1/d4，并且得到式(13)的非零解:

令E=εσ1=v/2－ω1，E为一阶振动的频率差，表示激励频率的1/2与线性频率的差。则式(13)变为:

由式(14)可知，当a=0时，得:

另外，由式(15)可看出，当系统共振时，即各阶模态不存在相位差(E=0)时，振幅a与微量ε和参数d4成正比，与频率参数v和参数 c1成反比，其中 d4=Mc2/(L2d1)，c1=c0/(m+Mc);若取Mc/(m+Mc)为质量比，则振幅a还与质量比、流速U0成正比关系，而与阻尼系数c0、板长L成反比;且振幅随相位差E的增大而不断增大。

3 结语

1)利用多尺度的分析方法，发现非线性刚度对振幅的影响，体现为通过相位间接的影响振幅。

2)系统共振时，即各阶模态间不存在相位差(E=0)时;振幅a与微量ε、参数d4、质量比和流速U0成正比，而与频率参数v和参数c1、阻尼系数c0以及板长L成反比;且振幅a随相位差E的增大而不断增加。

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