基于能量耗散的混凝土单轴受拉损伤模型

唐仁忠 刘凤丽 孙从亚

0 引言

当前的结构设计是以强度的极限承载力为基础的，实际工程中混凝土构件裂缝的形成大多是由于材料的拉应力或拉应变达到相应的极限值而引起的，因此对混凝土的受拉进行研究不但具有一定的理论意义，而且有重要的实际价值。

混凝土的破坏基本原理是微开裂，也即微裂缝的形成、扩展、贯通的过程，这一过程反映了混凝土的力学性能和应力—应变关系的响应，因此用损伤理论分析混凝土的破坏过程是合适的。国内外学者利用损伤理论对混凝土的损伤行为作了大量工作，提出了一些有效的混凝土损伤模型[1］，国外的有Kachanov损伤模型、Loland受拉损伤模型、Mazars损伤模型等;国内主要有分段线性模型和分段曲线模型等。

混凝土是一种单轴抗压强度远大于抗拉强度的材料，在单轴受拉状态下近似弹脆性材料。因此，本文基于Najar损伤理论[2］，从量耗散的角度提出一种由高斯积分算法计算损伤的混凝土单轴受拉损伤模型。

1 损伤模型

从热力学角度看，损伤变量表示物质内部结构的不可逆的变化过程，因此是一种内变量，用这种内变量来描述损伤的演变发展。借助Kachanov的“连续度”的概念，连续介质损伤力学将材料的损伤描述为有效受力面积的减少，于是经典损伤变量被抽象为:

其中，A为材料受损前的截面面积;¯A为受损后的有效受力面积;D=0为无损状态;D=1为完全破损状态。

基于Najar损伤理论的损伤变量定义为:

其中，W0为无损状态应变能密度，W0=E0·ε2/2;Wε为损伤状态下的应变能密度，Wε=σ·ε/2，σ，ε分别为损伤状态对应的应力和应变。对于式(2)，当Wε=W0，D=0;当 Wε≪W0，D→1;当0 ＜Wε＜W0，0＜D＜1，故用式(2)描述混凝土的损伤发展是合理的。

在Najar损伤理论中，损伤状态的应变能按线性求得，即Wε=σ·ε/2，图1中阴影部分，其显然要比实际的小，从而由其计算得的损伤就要比实际的大。损伤状态下应变能的计算精确与否直接关系到损伤逼近真实的程度。文献[3］从能量耗散角度提出分段线性损伤模型;文献[4］用辛普生积分法从能量耗散角度研究损伤，模型都较Najar线性方法有所提高。辛普生积分法较分段线性法精度有所提高，但辛普生积分法只适用于积分区域端点在内的积分点等间距分布，因此对积分点的选取有所限制;同时对于n个积分点，辛普生积分法的精度为n－1。因此本文提出应用高斯积分法计算损伤状态下的应变能，高斯积分算法适用于积分点不等间距的情况，更重要的是在n个积分点上，高斯积分算法的精度可以达到2n－1次，这样在相同的积分点数情况下可以更好的逼近实际值，从而用其计算损伤状态下的应变能更精确，损伤更接近真实损伤。

若将待积分应变区间分成N个小区间，对每个小区间应用高斯积分法，将在每个小区间算得的应变能求和就得能到整个损伤状态的应变能密度:

将式(3)代入式(2)可得:

由上式对已知的单轴受压的应力—应变关系，在划分的足够小的应变区间上，编制计算机程序就可得到损伤随应变的变化规律，进而可以直观地描述混凝土的损伤演变过程。

2 损伤模型验证

选取GB 50010-2002混凝土结构设计规范推荐的单轴受拉应力—应变关系式[5］:

当x≤1时:

当x＞1时:

其中，x=ε/εt，εt为与 ft对应的峰值应变，y= σ/ft，ft为混凝土单轴抗拉强度;at为单轴受拉应力—应变关系曲线下降段参数，具体可以查阅GB 50010-2002混凝土结构设计规范中表C.2.2。

由图2可知，除Loland模型[6］接近直线外，其余模型都是外凸的，损伤演化趋势是一致的;从图形的走势来看，Mazars模型[7］最陡，损伤演化得相对最快，Loland模型演化得相对最慢，而本文模型介于分段曲线与分段线性模型二者之间且比较平缓光滑，因此应用Mazars模型和分段线性模型描述高强度脆性混凝土受拉损伤演化较为合适，Loland模型可用以描述低强度混凝土的损伤演化，本文模型与分段曲线模型比较适合描述中强度混凝土的损伤演化。

本文模型在初始段估计的损伤值偏大，这在一定程度上与本模型从开始加载就考虑损伤的发展有关，从损伤曲线的形状可知本文基于能量耗散理论建立的损伤模型是合理的。

3 结语

通过与已有单轴受拉损伤模型的对比可以得出:本文基于Najar损伤理论，从能量耗散的角度提出的混凝土单轴受拉损伤模型是合理的，模型能够合理的解释混凝土的损伤发展。模型采用了高斯积分算法计算损伤，结果的精度相对更精确。但是，模型只选取了强度为C30的混凝土进行了理论验证，应该从试验和实际应用的角度对模型的有效性做进一步验证。

[1]董毓利.混凝土非线性力学基础[M］.北京:中国建筑工业出版社，1997.

[2]Krajcinovic D，Lemaitre J.Continuum damage mechanics theory and applications[M］.New York:Springer Verilag，1987:233-294.

[3]赵 雷，陈 虬.混凝土构件的一种新分段线性损伤模型[J］.重庆交通学院学报，1996，15(1):27-33.

[4]王中强，于志武.基于能量损失的混凝土损伤模型[J］.建筑材料学报，2004，7(4):365-369.

[5]GB 50010-2002，混凝土结构设计规范[S］.

[6]Loland K E.Continuous Damage Model for Load-response Estimation of Concrete[J］.Cement and Concrete Research.Pergamon Press，1980，1(10):395-402.

[7]Mazars J.Continuous Damage Theory-Applicationto Concrete[J］.Journal of Engineering，1980，115(2):345-365.