一个平面几何结论的再推广

●张乃贵 (徐州师范大学2009级教育硕士 江苏徐州 221000)

结论设P是圆x2+y2=R2上的一点，PA，PB是圆的2条弦，其斜率分别为k1，k2.若k1k2=-1，则弦AB必过圆心(0，0).

文献［1］对该结论进行推广得到定理：

定理设P(x0，y0)是圆x2+y2=R2上的一个定点，PA，PB是圆的2条弦，其斜率分别为k1，k2.若k1k2=c(c是常数)，则：

(1)若c=1，则AB的斜率为定值(或不存在);

笔者经过深入研究，将上述定理推广到椭圆、双曲线和抛物线中.在利用齐次化方法证明这些性质时，意外发现了一些新的结论，现将之整理成文，与大家交流.

1 在椭圆、双曲线中的推广

证明设直线AB的方程为x=my+n，即设A(x1，y1)，B(x2，y2)，显然满足上述方程，由已知条件及根与系数关系得

以上利用两根之积与系数的关系证明了性质1，一种自然延伸的思考是：由两根之和与系数的关系又能得出什么结论呢?

在性质1，2，3中，以-b2代换b2可得到双曲线中相应的性质.

2 在抛物线中的推广

证明设直线AB的方程为x=my+n，即

显然 n+my0-x0≠0，则

将 y2=2px 写为［(y-y0)+y0］2=2p［(x-x0)+x0］，即

设A(x1，y1)，B(x2，y2)显然满足上述方程，由已知条件及根与系数关系得

因此我们有：

［1］ 徐道.一个平面几何结论的解析推广［J］.中学生数学(高中版)，2010(11)：5-6.