隐性路径 显性分析

●周礼寅 (东台市实验中学教育集团 江苏东台 224200)

运动型问题是近年来中考的一个热点.这类试题能全面考查学生的数学活动过程，考查学生通过数学思考解决问题的综合应用能力，因而倍受各地中考命题者的青睐.探索在运动过程中动点的运动路径是运动型问题新呈现的考查方向.这类问题由于动点运动路径不明晰，因此对学生分析问题的能力要求更高.为此，本文尝试对这类隐性路径问题进行显性分析，供参考.

1 动点路径问题的几种类型

1.1 单动点路径

例1 如图1，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止，连结EM并延长交射线CD于点F，过点M作EF的垂线交射线BC于点G，连结EG，FG.

(1)设AE=x，△EGF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围;

(2)P是MG的中点，请直接写出点P的运动路线的长.(2010年江苏省南京市数学中考试题)

分析(1)略;

(2)要求点P的运动路线的长，必须先探索点P的运动轨迹.由动点E运动的临界点为A，B，可知当动点E运动至点A时，点P运动至点P1(如图2);当动点E运动至点B时，点P运动至点P2(如图3)，因此点P在P1与P2之间运动.

图1

图2

图3

在由点A向点B运动的过程中，再选取一个动点E，作出相应的点 P(如图4)，从点 P1，P，P2可大致猜测出点P的运动轨迹应为线段P1P2.

为什么点P的运动轨迹为线段P1P2呢?如图5，设 MG交 P1P2于点 P'.由 P1P2为△MG1G2的中位线，得 P1P2∥G1G2，即 P1P'∥G1G2，因此即点P'与点P重合.这表明MG的中点P始终落在线段P1P2上，因此点P的运动路径为P1P2，通过计算可求得P1P2的长为2.

图4

图5

评析 本题由于动点E的运动，使得△EFG及点P均受点……