基于复合Newton-Cotes改进的一种数值积分算法

刘 浩,李梦爽

南京大学，江苏南京 211102

1 问题的提出

[1]中的证明可知：在 n<=8 时数值稳定，误差随n 的增大而减小，同时n>8 时，会产生数值不稳定性，造成巨大计算误差。但是，实际的计算过程中误差并没有像[1]中所言在n小于8时候会随着n的增大而减小，而是减小到一定程度之后就不再减小。

经过实验分析（在精度更高的计算环境下，误差的减小微乎其微）我们确定这不是由于计算机表示精度的原因造成的。进一步分析和对比[2]中的给定积分系数Ai，我们确定这是由于其中在计算过程中计算Ai多项式积分引入了额外的误差。于是我们提出了一种改进的Newton-Cotes数值积分算法。我们称新算法为后置秦氏Newton-Cotes算法。

2 算法的介绍

经典的复合Newton-Cotes算法和相关结果

Newton-Cotes计算方法是将问题转化为计算积分的近似值

当阶数过大时会产生数值不稳定性，所以采用复合Newton-Cotes算法增加计算的精度。其思想是讲区间[a，b]平分成m段，在每段上使用Newton-Cotes算法，最后将各段结果求即为积分的近似值。

【定理1】[1]n阶Newton-Cotes算法的离散误差

为

由此当n较大时离散误差会发散。

但是实际数值计算试验中并没有表现出上述定理所述的结果，这是因为上述定理认为Ai的计算是绝对准确的，但实际计算中只是还是使用数值积分方法计算该Ai，只是计算多项式积分的计算更准确一点。然而这却导致了在n上升到较小值的之后误差就不再明显下降。于是我们提出了如下算法。

3 后置秦氏复合Newton-Cotes算法

在经典的复合Newton-Cotes算法中我们会使用，秦九韶算法计算多项式的值之后再进行数值积分。……